中3数学の三平方の定理の練習問題プリント・ドリル【無料】間違えやすいところを直す（答えつき）
中学3年の三平方の定理の無料プリントです。まず診断テストで間違えやすいところを見つけ、そこだけを「ここで間違えやすいこと」で確かめて直し、最後に定期テストの形のまとめテストで仕上げます。診断テストもまとめテストも答えつきで、印刷かごに入れるとまとめて1つのPDFにできます。
目次
診断テスト（2枚・答えつき）
伸びしろは、×の中にある。
間違えやすいところを1問ずつ集めた18問のテストです。答えの紙に、問題ごとに「よくある誤答」と「やるところ」を書いてあるので、苦手なところだけを選んで直せます。直したあと、1週間後にもう1つの診断テストBを解くと、苦手がなくなったかが分かります。
答えの紙には、問題ごとに「間違えやすいこと」と「やるところ」を書いています。
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診断テストのあとにやること
- 1診断テストAを解く18問・20分。分からない問題は空らんのままでOK
- 2答え合わせをする×だった問題の番号に丸をつける
- 3下の表で行き先を見る×の番号から「やるところ」を探す
- 4そのところの「ここで間違えやすいこと」を読む✕の答え方と、○の正しい答え方を見比べる
- 5教科書やワークで同じ形を解き直す直したところを、自分の手でもう一度
- 61週間後に診断テストB×が消えたか確かめる
全部○まとめテストへ進む
まだ×がある3にもどって、そのところだけもう一度
診断テストで×だった問題→やるところ
| 問題 | 間違えやすいこと | やるところ |
|---|---|---|
| 問1 | 斜辺でない辺をcに置く | 定理と証明へ |
| 問2 | √の中を分けて開く | 定理と証明へ |
| 問3 | 根号の簡約ミス | 定理と証明へ |
| 問4 | 最大辺をcにしない | 定理の逆へ |
| 問5 | √を含む辺の2乗 | 定理の逆へ |
| 問6 | 直角の位置の取り違え | 定理の逆へ |
| 問7 | 1:2:√3の対応取り違え | 特別な直角三角形へ |
| 問8 | √2をかける・わるの向き | 特別な直角三角形へ |
| 問9 | 底辺を半分にしない | 平面図形への利用へ |
| 問10 | 斜めの辺を高さにする（正三角形） | 平面図形への利用へ |
| 問11 | 負の座標の差の符号 | 座標平面の2点間の距離へ |
| 問12 | xの差だけで距離 | 座標平面の2点間の距離へ |
| 問13 | 弦の半分のまま答える | 円の弦と接線へ |
| 問14 | 接線を引き算で出す | 円の弦と接線へ |
| 問15 | 面の対角線で止める | 空間図形への利用へ |
| 問16 | 角錐の高さに斜高 | 空間図形への利用へ |
| 問17 | 展開図を使わず辺をたどる | 最短距離（展開図）へ |
| 問18 | 円柱で高さと円周を足す | 最短距離（展開図）へ |
三平方の定理の流れ
- 定理と証明
- 定理の逆
- 特別な直角三角形
- 平面図形への利用
- 座標平面の2点間の距離
- 円の弦と接線
- 空間図形への利用
- 最短距離（展開図）
三平方の定理は、教科書によって順番が少しちがいますが、おおよそこの順番で学びます。下の小単元は、この順に並べています。
定理と証明
診断テストの問1・問2・問3が×だった人はここ
直角三角形の直角をはさむ2辺をa、b、斜辺をcとするとa²＋b²＝c²が成り立ちます（三平方の定理）。斜辺は直角の向かいのいちばん長い辺です。答えが√になるときは、√の中の平方数を外に出して小さい自然数にします。証明は、1辺a＋bの正方形の面積を2通りに表す方法が代表的です。
ここで間違えやすいこと
- 斜辺でない辺をcに置く✕斜辺13・1辺5→5²+13²=194→√194○正しい答え：12なぜ間違えるか：与えられた2辺をそのままa,bに入れ、斜辺の位置を見ない
- 長さどうしを足す✕直角をはさむ2辺6,8→6+8=14○正しい答え：10なぜ間違えるか：2乗の関係を長さの関係a+b=cにする
- √の中を分けて開く✕2辺2,3→√(2²+3²)=2+3=5○正しい答え：√13なぜ間違えるか：√(a²+b²)=a+bと分配する
- √の取り忘れ✕2辺1,2→c²=5→c=5○正しい答え：√5なぜ間違えるか：c²の値をcとして答える
見直しのコツ斜辺を先に見つけてcに入れる。長さどうしを足さない。√の中は分けて開かず、2乗のまま計算して最後に√を取る。
定理の逆
診断テストの問4・問5・問6が×だった人はここ
三角形の3辺の長さa、b、c（cが最大）でa²＋b²＝c²が成り立てば、cの向かいの角が直角の直角三角形です。判定は足し算ではなく2乗で比べます。√を含む辺は(k√m)²＝k²mと2乗します。斜辺の指定がないときは、どの辺が斜辺になりうるかで場合分けします。
ここで間違えやすいこと
- 最大辺をcにしない✕3辺13,5,12→13²+5²≠12²→「直角三角形でない」○正しい答え：5²+12²=13²なので直角三角形なぜ間違えるか：書かれた順の最後の辺をcにする
- 2乗せずに判定✕3辺3,4,5→3+4≠5→「直角でない」○正しい答え：9+16=25で直角なぜ間違えるか：長さの和で比べる
- √を含む辺の2乗✕3辺2√3,2,4→6+4≠16→「直角でない」○正しい答え：12+4=16で直角なぜ間違えるか：(2√3)²を2×3=6とする
- 直角の位置の取り違え✕AB=5,BC=12,CA=13→∠Cが直角○正しい答え：∠Bなぜ間違えるか：最大辺の「向かい」でなく最大辺の端の角を選ぶ
見直しのコツいちばん長い辺をcにする。直角はcの向かいの角。(k√m)²はk²×m。指定がなければ場合分け。
特別な直角三角形
診断テストの問7・問8が×だった人はここ
直角二等辺三角形の3辺の比は1:1:√2、内角が30°・60°・90°の直角三角形は（30°の向かい）:（60°の向かい）:斜辺＝1:√3:2です。どちらの比を使うかは角度で選び、辺が斜辺の何倍かを向きまで確かめます。
ここで間違えやすいこと
- 1:2:√3の対応取り違え✕斜辺6・30°の向かいの辺→3√3○正しい答え：3なぜ間違えるか：30°の向かいに√3を当てる
- √2をかける・わるの向き✕直角二等辺・斜辺6→等辺6√2○正しい答え：3√2なぜ間違えるか：斜辺から等辺を出すのに√2をかける
- √3でわる計算✕60°の向かい6→30°の向かい2○正しい答え：2√3なぜ間違えるか：6÷√3を6÷3にする
- √3を最大と思う✕斜辺4→30°の向かい4/√3○正しい答え：2なぜ間違えるか：1:2:√3の書き順から√3を斜辺にする
見直しのコツ45°なら1:1:√2、30°・60°なら1:√3:2。√2や√3をかけるのか、わるのかを、斜辺が最長であることで確かめる。
平面図形への利用
診断テストの問9・問10が×だった人はここ
図形の中に直角三角形を見つけて（作って）三平方の定理を使います。二等辺三角形の頂点から底辺への垂線は底辺を2等分するので、高さは底辺の半分を使って求めます。正三角形の高さは1辺×√3÷2、等脚台形の高さは（下底−上底）÷2と脚から出します。
ここで間違えやすいこと
- 対角線を辺の2倍✕1辺4の正方形の対角線→8○正しい答え：4√2なぜ間違えるか：対角線を辺の和で出す
- 底辺を半分にしない✕等辺13・底辺10の二等辺三角形の高さ→√(13²−10²)=√69○正しい答え：12なぜ間違えるか：頂点からの垂線が底辺を2等分することを使わない
- 斜めの辺を高さにする（正三角形）✕1辺6の正三角形の面積→6×6÷2=18○正しい答え：9√3なぜ間違えるか：辺の長さをそのまま高さに使う
- 脚を高さにする（台形）✕上底4・下底10・脚5→(4+10)×5÷2=35○正しい答え：28なぜ間違えるか：等脚台形の斜めの脚を高さに使う
見直しのコツ斜めの辺（脚・辺そのもの）を高さに使わない。底辺は半分にして使う。高さを出してから面積。
座標平面の2点間の距離
診断テストの問11・問12が×だった人はここ
座標平面上の2点を結ぶ線分の長さは、横の差と縦の差を直角をはさむ2辺とする直角三角形の斜辺として求めます。負の座標では差の計算（4−(−2)など）の符号に注意し、グラフ上の点はy座標を求めてから距離を出します。
ここで間違えやすいこと
- 座標の和を使う✕A(1,2),B(4,6)→√(5²+8²)=√89○正しい答え：5なぜ間違えるか：2辺を「差」でなく「和」で作る
- 負の座標の差の符号✕A(−2,1),B(4,−7)→√(2²+6²)=2√10○正しい答え：10なぜ間違えるか：4−(−2)を4−2、−7−1を−7+1とする
- 差を足して距離✕A(1,2),B(4,6)→3+4=7○正しい答え：5なぜ間違えるか：横と縦の移動の和を距離にする
- xの差だけで距離✕y=x²上のA(−1,1),B(2,4)→3○正しい答え：3√2なぜ間違えるか：グラフ上の点のy座標を読まない
見直しのコツ差を取ってから2乗する（和や、差の和にしない）。y＝x²上の点はyを先に出す。
円の弦と接線
診断テストの問13・問14が×だった人はここ
円の中心から弦に垂線をおろすと弦は2等分されるので、半径・中心から弦までの距離・弦の半分で直角三角形ができます。円外の点Pから引いた接線の接点をTとすると、OT⊥PT（接線は接点を通る半径に垂直）で、斜辺はOPです。
ここで間違えやすいこと
- 弦の半分のまま答える✕半径5・中心からの距離3の弦→4○正しい答え：8なぜ間違えるか：直角三角形で出るのは弦の半分
- 弦全体を直角三角形の辺に使う✕半径13・弦24の中心からの距離→√(24²−13²)=√407○正しい答え：5なぜ間違えるか：半分にせずに三平方に入れる
- 接線を引き算で出す✕OP=10・半径6の接線の長さ→10−6=4○正しい答え：8なぜ間違えるか：中心と点の距離から半径をひく
- 接線で斜辺を取り違える✕OP=10・半径6→√(10²+6²)=2√34○正しい答え：8なぜ間違えるか：接点の直角を見ず、OPを直角をはさむ辺にする
見直しのコツ弦の長さは直角三角形で出した半分の2倍。接線の長さはOPを斜辺にして出す。引き算やOPを直角の辺にしない。
空間図形への利用
診断テストの問15・問16が×だった人はここ
直方体の対角線は、面の対角線で止めずにもう一度三平方の定理を使って√(a²＋b²＋c²)と求めます。錐の高さは、斜めの長さ（母線・側辺・側面の三角形の高さ）と区別し、底面の中心から出る直角三角形で求めます。体積は底面積×高さ÷3です。
ここで間違えやすいこと
- 面の対角線で止める✕3辺3,4,12の直方体の対角線→5○正しい答え：13なぜ間違えるか：立体の対角線を2段階でたどらない
- 円錐の高さに母線✕母線10・半径6の円錐の体積→1/3×36π×10=120π○正しい答え：96πなぜ間違えるか：斜めの長さ（母線）を高さにする
- 錐の1/3忘れ✕同じ円錐→36π×8=288π○正しい答え：96πなぜ間違えるか：柱の体積の式で計算
- 頂点からの垂線の足を取り違える✕底面1辺6・側辺9の高さ→√(9²−3²)=6√2○正しい答え：3√7なぜ間違えるか：正四角錐で底面の「辺の半分」を使い「対角線の半分」を使わない
見直しのコツ斜めの長さを高さに使わない。正四角錐の側辺からは、底面の対角線の半分を使う。錐は÷3を忘れない。
最短距離（展開図）
診断テストの問17・問18が×だった人はここ
立体の表面を通る最短の長さは、展開図の上の1本の直線の長さです。立方体は2面を開いた長方形の対角線、直方体は3通りの開き方をすべて比べて最小を選びます。円柱の側面を1周する最短は、円周と高さを2辺とする長方形の対角線で、円錐の側面はおうぎ形に開いて考えます。
ここで間違えやすいこと
- 展開図を使わず辺をたどる✕1辺2の立方体の頂点から向かいの頂点へ表面を通る糸→2+2+2=6○正しい答え：2√5なぜ間違えるか：立体の辺の上を進む道を最短と思う
- 立体の中を通す✕同じ立方体→2√3○正しい答え：2√5なぜ間違えるか：表面でなく空間対角線を答える
- 展開の仕方を比べない✕3辺3,4,5の直方体の頂点から向かいの頂点→√(8²+4²)=4√5○正しい答え：√74なぜ間違えるか：1通りの展開だけで答える
- 円柱で高さと円周を足す✕高さ5・底面の円周12の円柱に1周巻く→5+12=17○正しい答え：13なぜ間違えるか：側面を長方形に開かない
見直しのコツ辺づたいの長さや、立体の中を通る対角線を答えない。展開図を描いて直線を引く。開き方が複数あるときは比べる。
まとめテスト（定期テストの形・2枚・答えつき）
ヒントなしで、いろいろな間違えやすさが混ざったテストです。50点満点・25分。時間を計って解きましょう。答えの紙には、採点のめやすと考え方の途中の式、「×だったらここ」を書いています。
①で間違えたところを直してから②に取り組むと、伸びたかが分かります。
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学校のワークで間違えたら
学校のワークやテストで間違えた答えの形から、どこでつまずいたかと、やるところを探せます。
| こう間違えた | つまずき | やるところ |
|---|---|---|
| 斜辺13・1辺5→5²+13²=194→√194 | 斜辺でない辺をcに置く | 定理と証明 |
| 直角をはさむ2辺6,8→6+8=14 | 長さどうしを足す | 定理と証明 |
| 2辺2,3→√(2²+3²)=2+3=5 | √の中を分けて開く | 定理と証明 |
| 2辺1,2→c²=5→c=5 | √の取り忘れ | 定理と証明 |
| 2辺2,6→√40=4√10 | 根号の簡約ミス | 定理と証明 |
| 外側の正方形(a+b)²=c²+4×ab/2をa²+b²=c²+2ab→a=3,b=4でc²=1 | 証明で(a+b)²を展開し損なう | 定理と証明 |
| 3辺13,5,12→13²+5²≠12²→「直角三角形でない」 | 最大辺をcにしない | 定理の逆 |
| 3辺3,4,5→3+4≠5→「直角でない」 | 2乗せずに判定 | 定理の逆 |
| 3辺2√3,2,4→6+4≠16→「直角でない」 | √を含む辺の2乗 | 定理の逆 |
| AB=5,BC=12,CA=13→∠Cが直角 | 直角の位置の取り違え | 定理の逆 |
| 2辺3,4の直角三角形の残りの辺→5だけ | 斜辺の場合分け漏れ | 定理の逆 |
| 斜辺6・30°の向かいの辺→3√3 | 1:2:√3の対応取り違え | 特別な直角三角形 |
| 直角二等辺・斜辺6→等辺6√2 | √2をかける・わるの向き | 特別な直角三角形 |
| 60°の向かい6→30°の向かい2 | √3でわる計算 | 特別な直角三角形 |
| 斜辺4→30°の向かい4/√3 | √3を最大と思う | 特別な直角三角形 |
| 直角二等辺・等辺5→斜辺10 | 45°に1:2:√3を使う | 特別な直角三角形 |
| 1辺4の正方形の対角線→8 | 対角線を辺の2倍 | 平面図形への利用 |
| 等辺13・底辺10の二等辺三角形の高さ→√(13²−10²)=√69 | 底辺を半分にしない | 平面図形への利用 |
| 1辺6の正三角形の面積→6×6÷2=18 | 斜めの辺を高さにする（正三角形） | 平面図形への利用 |
| 上底4・下底10・脚5→(4+10)×5÷2=35 | 脚を高さにする（台形） | 平面図形への利用 |
| A(1,2),B(4,6)→√(5²+8²)=√89 | 座標の和を使う | 座標平面の2点間の距離 |
| A(−2,1),B(4,−7)→√(2²+6²)=2√10 | 負の座標の差の符号 | 座標平面の2点間の距離 |
| A(1,2),B(4,6)→3+4=7 | 差を足して距離 | 座標平面の2点間の距離 |
| y=x²上のA(−1,1),B(2,4)→3 | xの差だけで距離 | 座標平面の2点間の距離 |
| 半径5・中心からの距離3の弦→4 | 弦の半分のまま答える | 円の弦と接線 |
| 半径13・弦24の中心からの距離→√(24²−13²)=√407 | 弦全体を直角三角形の辺に使う | 円の弦と接線 |
| OP=10・半径6の接線の長さ→10−6=4 | 接線を引き算で出す | 円の弦と接線 |
| OP=10・半径6→√(10²+6²)=2√34 | 接線で斜辺を取り違える | 円の弦と接線 |
| 3辺3,4,12の直方体の対角線→5 | 面の対角線で止める | 空間図形への利用 |
| 母線10・半径6の円錐の体積→1/3×36π×10=120π | 円錐の高さに母線 | 空間図形への利用 |
| 同じ円錐→36π×8=288π | 錐の1/3忘れ | 空間図形への利用 |
| 底面1辺6・側辺9の高さ→√(9²−3²)=6√2 | 頂点からの垂線の足を取り違える | 空間図形への利用 |
| 底面1辺6・側面の高さ5の正四角錐の体積→1/3×36×5=60 | 角錐の高さに斜高 | 空間図形への利用 |
| 1辺2の立方体の頂点から向かいの頂点へ表面を通る糸→2+2+2=6 | 展開図を使わず辺をたどる | 最短距離（展開図） |
| 同じ立方体→2√3 | 立体の中を通す | 最短距離（展開図） |
| 3辺3,4,5の直方体の頂点から向かいの頂点→√(8²+4²)=4√5 | 展開の仕方を比べない | 最短距離（展開図） |
| 高さ5・底面の円周12の円柱に1周巻く→5+12=17 | 円柱で高さと円周を足す | 最短距離（展開図） |
| 母線12・底面半径4の円錐を1周して戻る→8π | 円錐で底面の円周をたどる | 最短距離（展開図） |
三平方の定理は中3のどこで習う？つまずきやすい点と家庭での声かけ
三平方の定理は、中学校学習指導要領解説数学編では第3学年の「B図形」で学ぶ内容です。直角三角形の3辺の長さの関係として定理の意味を理解し、それが証明できることを知り、定理を見いだして具体的な場面（座標平面の2点間の距離・長方形の対角線・円錐の高さなど）で活用することがねらいです。このページの診断テストとまとめテストは、この単元で間違えやすい点を、誤答の形から集めたものです。
| 学年 | 学校で学ぶこと | つながる先 |
|---|---|---|
| 中1 | 空間図形（錐体の体積・展開図） | 立体の高さや体積を求める前提 |
| 中2 | 二等辺三角形・合同・平行四辺形 | 証明の型・二等辺三角形の高さ（垂線）につながる |
| 中3（この単元） | 三平方の定理（定理と証明・逆・座標・円・立体への活用） | 平方根・式の展開・相似と組み合わせて使う |
| 高校数学Ⅰ | 三角比・余弦定理 | 特別な直角三角形の比がsin・cosにつながる |
| 高校数学Ⅱ | 図形と方程式 | 2点間の距離・円の方程式につながる |
斜辺でない辺をcに入れる
斜辺が13cm、1辺が5cmのとき5²＋13²を計算して√194としていたら、斜辺を足す側に入れています。斜辺は直角の向かいのいちばん長い辺で、13²−5²＝144から12cmです。
声かけ直角の向かいはどの辺かな？いちばん長い辺は？
二等辺三角形の高さに底辺をそのまま使う
AB＝AC＝13cm、BC＝10cmの二等辺三角形で13²−10²として√69としていたら、底辺の半分を使っていません。頂点から底辺への垂線は底辺を2等分するので、13²−5²＝144から高さは12cmです。
声かけ垂線は底辺をどこで分けるかな？半分の長さは？
面の対角線で止める
3辺が3cm、4cm、12cmの直方体の対角線を、3cmと4cmの面の対角線5cmで止めていたら、もう一度三平方の定理を使っていません。5cmと12cmで√(5²＋12²)＝13cmです。
声かけ立体の対角線は、直角三角形を何回つくる？
家庭でできること診断テストAで×だった番号を小単元ごとに数え、×が多い小単元の「ここで間違えやすいこと」を声に出して読むと、どこで考え違いをしたかを本人が説明できます。図に直角のしるしがあるかを確かめて、斜辺（直角の向かいのいちばん長い辺）に○をつけてから式を立てると、取りちがえに気づけます。√の答えは、2乗のまま最後まで計算して、最後に√を取る順にします。直したあと、1週間おいて診断テストBを解くと、直ったかどうかが分かります。
この記事で参考にした資料
- 中学校学習指導要領（平成29年告示）解説数学編（文部科学省・平成29年7月・PDF）…第3学年「B図形」(3)三平方の定理の条文と解説（意味と証明・定理を見いだすこと・具体的な場面での活用・逆・座標や立体への利用）の確認に使いました
リンク先はいずれも公的機関・学術データベースの資料です（最終確認2026年10月15日）。