二次方程式の利用（面積・長方形）の文章題の解き方｜図と6ステップで、答えが2つ出たとき合う方を選ぶ
二次方程式の利用(面積・長方形)は、図をかいて、長さをxで表して、面積の式をつくれば解けます。この記事では、6ステップの型を、辺の長さの差・正方形の変形・道の幅・箱づくり・周の長さの5つの例題で見せます。答えが2つ出たときに、問題に合う解を選ぶ「吟味」も、ていねいに説明します。ページの下には、印刷して配れる解説プリントもあります。
面積の文章題は、図を描いて、長さをxで表して、面積の式をつくるだけです。むずかしいのは二次方程式を解くことより、その前後。「なにをxにするか」と「出た解が問題に合うか」を、そのつど確かめるのが大切です。
目次
二次方程式の利用・文章題(面積・長方形)とは?
長方形の面積は「縦×横」です。縦や横をxで表すと、面積の式にx²が出てきます。だから、縦も横もxで表して面積の式をつくると、二次方程式になります。
x=求めたいもの(橙)問題の数(青)太字=答え
この記事でわかること
辺の長さの差・正方形の変形・道の幅・箱づくり・周の長さ、と5つの型を、図と途中式で1つずつ見ていきます。
辺の長さの差・正方形の変形・道の幅・箱づくり・周の長さ、と5つの型を、図と途中式で1つずつ見ていきます。
文部科学省の中学校学習指導要領解説(数学編)では、二次方程式の利用は、求めたい数量を文字で表し、二通りに表される数量を見つけて方程式をつくって解き、求めた解を問題に即して解釈する、という一連の活動として示されています。特に二次方程式は、解が二つあることなどから、解が問題の答えとして適切かどうかを、もとの場面にもどして調べることが大切だとされています。
二次方程式の利用(面積の文章題)の解き方は6ステップ
①求めたいものをxとおく(図に書く)
②ほかの長さをxで表す
③面積の式をつくる(=方程式)
④=0の形にして解く
⑤解を問題にもどして吟味する
⑥たずねられたものを単位つきで答える
ステップ⑤の「吟味」は、解が2つ出る二次方程式で、とくに大切な手順です。
二次方程式の文章題・例題(面積の5つの型)
例題1｜辺の長さの差がわかっている(縦が横より3cm長い)
縦が横より3cm長い長方形があります。面積が40cm²のとき、横の長さは何cmですか。
STEP1
求めたいものをxとおく
横の長さをxcmとする。
求めたいもの(横)を文字でおく。これが最初の一歩。
STEP2
ほかの長さをxで表す(図に書きこむ)
縦=x+3
縦は横より3cm長いので、横xに3をたす。
STEP3
面積の式をつくる(=方程式)
縦×横=面積
x(x+3)=40
x(x+3)=40
図の面積を、式で書くだけ。右側は問題に書いてある面積です。
STEP4
かっこをはずし、=0の形にして解く
x²+3x=40
x²+3x−40=0
(x+8)(x−5)=0
x+8=0またはx−5=0
x=−8、x=5
x²+3x−40=0
(x+8)(x−5)=0
x+8=0またはx−5=0
x=−8、x=5
かっこをはずして、右辺を左辺にうつす(移項)と、=0の形になる。かけて−40、たして3になる2つの数は−5と8。だから(x+8)(x−5)の形に因数分解できる。かけて0になるとき、どちらかが0になる。
STEP5
解を問題にもどして吟味する
| x | 各長さ | 問題に合うか | 理由・確かめ |
|---|---|---|---|
| −8 | 横−8cm、縦−5cm | ×合わない | 横が−8cm。長さは正の数でなければならない。 |
| 5 | 横5cm、縦8cm | ○合う | 面積を確かめる:40(問題の40と一致) |
二次方程式は解が2つ出ることが多いので、どちらも問題に合うかを1つずつ確かめます。長さや個数は正の数なので、合わないものを捨てるのが吟味です。
STEP6
答えを書く
横の長さは5cm(縦は8cm)
たずねられているもの(xとはかぎらない)を、単位つきで答える。
答え:横の長さは5cm(縦は8cm)
例題2｜正方形の辺をのばしたり縮めたりする
ある正方形の縦を4cm長く、横を3cm短くして長方形をつくったら、面積が30cm²になりました。もとの正方形の1辺は何cmですか。
STEP1
求めたいものをxとおく
もとの正方形の1辺をxcmとする。
求めたいのは「もとの正方形の1辺」。それをxにする。
STEP2
ほかの長さをxで表す(図に書きこむ)
縦=x+4
横=x−3
横=x−3
4cm長くする。3cm短くする。
STEP3
面積の式をつくる(=方程式)
縦×横=面積
(x+4)(x−3)=30
(x+4)(x−3)=30
図の面積を、式で書くだけ。右側は問題に書いてある面積です。
STEP4
かっこをはずし、=0の形にして解く
x×x−x×3+4×x−4×3=30
x²+x−12=30
x²+x−42=0
(x+7)(x−6)=0
x+7=0またはx−6=0
x=−7、x=6
x²+x−12=30
x²+x−42=0
(x+7)(x−6)=0
x+7=0またはx−6=0
x=−7、x=6
かっこをはずして、右辺を左辺にうつす(移項)と、=0の形になる。かけて−42、たして1になる2つの数は−6と7。だから(x+7)(x−6)の形に因数分解できる。かけて0になるとき、どちらかが0になる。
STEP5
解を問題にもどして吟味する
| x | 各長さ | 問題に合うか | 理由・確かめ |
|---|---|---|---|
| −7 | もとの1辺−7cm、縦−3cm、横−10cm | ×合わない | もとの1辺が−7cm。長さは正の数でなければならない。 |
| 6 | もとの1辺6cm、縦10cm、横3cm | ○合う | 面積を確かめる:30(問題の30と一致) |
二次方程式は解が2つ出ることが多いので、どちらも問題に合うかを1つずつ確かめます。長さや個数は正の数なので、合わないものを捨てるのが吟味です。
STEP6
答えを書く
もとの正方形の1辺は6cm
たずねられているもの(xとはかぎらない)を、単位つきで答える。
答え:もとの正方形の1辺は6cm
例題3｜土地に同じ幅の道を通す
縦20m、横30mの長方形の土地に、図のように縦の道1本と横の道1本を、土地の端から端まで同じ幅で通します。道をのぞいた残りの面積が459m²のとき、道の幅は何mですか。
STEP1
求めたいものをxとおく
道の幅をxmとする。
道の幅がわからないので、これをxにする(土地の縦・横は最初からわかっている)。
STEP2
ほかの長さをxで表す(図に書きこむ)
残りの縦=20−x
残りの横=30−x
残りの横=30−x
縦の道を右はしへ、横の道を下はしへ寄せて考えると、残りの縦は20mから道の幅xmをひいたぶん。横も同じように、30mからxmをひく。
STEP3
面積の式をつくる(=方程式)
残りの縦×残りの横=残りの面積
(20−x)(30−x)=459
(20−x)(30−x)=459
図の面積を、式で書くだけ。右側は問題に書いてある面積です。
STEP4
かっこをはずし、=0の形にして解く
20×30−20×x−x×30+x×x=459
x²−50x+600=459
x²−50x+141=0
(x−3)(x−47)=0
x−3=0またはx−47=0
x=3、x=47
x²−50x+600=459
x²−50x+141=0
(x−3)(x−47)=0
x−3=0またはx−47=0
x=3、x=47
かっこをはずして、右辺を左辺にうつす(移項)と、=0の形になる。かけて141、たして−50になる2つの数は−47と−3。だから(x−3)(x−47)の形に因数分解できる。かけて0になるとき、どちらかが0になる。
STEP5
解を問題にもどして吟味する
| x | 各長さ | 問題に合うか | 理由・確かめ |
|---|---|---|---|
| 3 | 道の幅3m、残りの縦17m、残りの横27m | ○合う | 面積を確かめる:459(問題の459と一致) |
| 47 | 道の幅47m、残りの縦−27m、残りの横−17m | ×合わない | 残りの縦が−27m。長さは正の数でなければならない。 |
二次方程式は解が2つ出ることが多いので、どちらも問題に合うかを1つずつ確かめます。長さや個数は正の数なので、合わないものを捨てるのが吟味です。
STEP6
答えを書く
道の幅は3m
たずねられているもの(xとはかぎらない)を、単位つきで答える。
答え:道の幅は3m
例題4｜四隅を切り取って箱をつくる
縦16cm、横24cmの長方形の厚紙があります。四隅から同じ大きさの正方形を切り取って、ふたのない箱をつくります。箱の底の面積が180cm²のとき、切り取る正方形の1辺は何cmですか。
STEP1
求めたいものをxとおく
切り取る正方形の1辺をxcmとする。
切り取る正方形の1辺が求めたいもの。
STEP2
ほかの長さをxで表す(図に書きこむ)
底の縦=16−2x
底の横=24−2x
底の横=24−2x
上と下の両はしから、xcmずつ2回切り取るので2xをひく。横も左右から2回切り取るので2xをひく。
STEP3
面積の式をつくる(=方程式)
底の縦×底の横=底の面積
(16−2x)(24−2x)=180
(16−2x)(24−2x)=180
図の面積を、式で書くだけ。右側は問題に書いてある面積です。
STEP4
かっこをはずし、=0の形にして解く
16×24−16×2x−2x×24+2x×2x=180
4x²−80x+384=180
4x²−80x+204=0
x²−20x+51=0
(x−3)(x−17)=0
x−3=0またはx−17=0
x=3、x=17
4x²−80x+384=180
4x²−80x+204=0
x²−20x+51=0
(x−3)(x−17)=0
x−3=0またはx−17=0
x=3、x=17
かっこをはずして、右辺を左辺にうつす(移項)と、=0の形になる。すべての項に4がふくまれるので、両辺を4でわって簡単にする。かけて51、たして−20になる2つの数は−17と−3。だから(x−3)(x−17)の形に因数分解できる。かけて0になるとき、どちらかが0になる。
STEP5
解を問題にもどして吟味する
| x | 各長さ | 問題に合うか | 理由・確かめ |
|---|---|---|---|
| 3 | 切り取る1辺3cm、底の縦10cm、底の横18cm | ○合う | 面積を確かめる:180(問題の180と一致) |
| 17 | 切り取る1辺17cm、底の縦−18cm、底の横−10cm | ×合わない | 底の縦が−18cm。長さは正の数でなければならない。 |
二次方程式は解が2つ出ることが多いので、どちらも問題に合うかを1つずつ確かめます。長さや個数は正の数なので、合わないものを捨てるのが吟味です。
STEP6
答えを書く
切り取る正方形の1辺は3cm
たずねられているもの(xとはかぎらない)を、単位つきで答える。
答え:切り取る正方形の1辺は3cm
例題5｜まわりの長さがわかっている
周の長さが20cmで、面積が21cm²の長方形があります。縦の長さは何cmですか。ただし、縦は横より短いとします。
STEP1
求めたいものをxとおく
縦の長さをxcmとする。
縦をxにする。横は「周の半分−縦」で表せる。
STEP2
ほかの長さをxで表す(図に書きこむ)
横=10−x
周が20cmなので、縦+横は20÷2=10cm。横は10cmからxをひく。
STEP3
面積の式をつくる(=方程式)
縦×横=面積
x(10−x)=21
x(10−x)=21
図の面積を、式で書くだけ。右側は問題に書いてある面積です。
STEP4
かっこをはずし、=0の形にして解く
−x²+10x=21
−x²+10x−21=0
x²−10x+21=0
(x−3)(x−7)=0
x−3=0またはx−7=0
x=3、x=7
−x²+10x−21=0
x²−10x+21=0
(x−3)(x−7)=0
x−3=0またはx−7=0
x=3、x=7
かっこをはずして、右辺を左辺にうつす(移項)と、=0の形になる。両辺に−1をかけて、x²の前を正の数にする。かけて21、たして−10になる2つの数は−7と−3。だから(x−3)(x−7)の形に因数分解できる。かけて0になるとき、どちらかが0になる。
STEP5
解を問題にもどして吟味する
| x | 各長さ | 問題に合うか | 理由・確かめ |
|---|---|---|---|
| 3 | 縦3cm、横7cm | ○合う | 面積を確かめる:21(問題の21と一致) |
| 7 | 縦7cm、横3cm | ×合わない | 問題の条件(縦は横より短い)に合わない。 |
この問題は、どちらの解も長さとして正です。問題の条件(縦は横より短い)で、1つに決めます。
STEP6
答えを書く
縦の長さは3cm(横は7cm)
たずねられているもの(xとはかぎらない)を、単位つきで答える。
答え:縦の長さは3cm(横は7cm)
なぜ道を端によせて考えてよいの?
道の面積は、道を平行に動かしても変わりません。縦の道を右はしへ、横の道を下はしへずらすと、残りの土地はひとつの長方形になります。縦は(20−x)m、横は(30−x)mなので、面積は(20−x)(30−x)m²と、かけ算1つで書けます。道が土地の中央を通っていても、面積は同じです。
二次方程式の文章題は「吟味」で解を1つに決める
二次方程式の解は2つ出ます。でも、長さは正の数でなければなりません。5つの例題で、どの解を捨てたかをまとめます。
| 問題 | 解 | 答えに使う解 | 捨てる解 |
|---|---|---|---|
| 例題1 | x(x+3)=40→x=−8、5 | 5 | x=−8を捨てる |
| 例題2 | (x+4)(x−3)=30→x=−7、6 | 6 | x=−7を捨てる |
| 例題3 | (20−x)(30−x)=459→x=3、47 | 3 | x=47を捨てる |
| 例題4 | (16−2x)(24−2x)=180→x=3、17 | 3 | x=17を捨てる |
| 例題5 | x(10−x)=21→x=3、7 | 3 | x=7は条件に合わない |
捨てるその解を入れると、どれかの長さが0以下になる(例題1〜4)
条件で決める周の長さから縦と横を出す問題(例題5)は、どちらの解も長さとして正です。x=3のとき縦3・横7、x=7のとき縦7・横3で、同じ長方形。「縦は横より短い」という条件で、縦=3cmに決めます
確かめ方解を図の長さにもどして、面積が問題の数と合うかを見る
二次方程式の文章題でまちがえる!ミス4選
×まちがい
例題3でx=3、x=47のどちらも答えにする
○正しい
x=47だと残りの縦が20−47=−27m。長さが負なのでx=3だけが答え
×まちがい
例題1で縦をたずねられたのにx=5の5cmと答える
○正しい
xは横だった。縦は5+3=8cm。xが答えとはかぎらない
×まちがい
(20−x)(30−x)を600−50x−x²と展開
○正しい
(−x)×(−x)=+x²なので600−50x+x²
×まちがい
x(x+3)=40だからx=40またはx+3=40
○正しい
「かけて0」のときだけ使える。まずx²+3x−40=0にしてから因数分解
二次方程式の利用(面積)の覚え方のコツ
面積の文章題は3つの部品で組み立てます。
①図:長方形をかいて、長さを書きこむ
②xの置き方:求めたいもの(道の幅や、切り取る1辺)をxにする
③面積の式:縦×横=面積。図の長さを、そのままかけ算にする
迷ったら、「図に書けたか」を先にたしかめます。式は図を見て書くだけです。
①図:長方形をかいて、長さを書きこむ
②xの置き方:求めたいもの(道の幅や、切り取る1辺)をxにする
③面積の式:縦×横=面積。図の長さを、そのままかけ算にする
迷ったら、「図に書けたか」を先にたしかめます。式は図を見て書くだけです。
二次方程式の文章題・練習問題と応用問題6問(答えは折りたたみ)
例題と同じ5つの型と、あと1つ(花だんの外に道をつける型)です。⑥は、道が花だんの両がわにつくので、全体の縦と横は、それぞれ2xだけ長くなります。図を自分でかいて、ノートで解いてから答えを開いてください。
①縦が横より5cm短い長方形があります。面積が84cm²のとき、横の長さは何cmですか。
答えを見る
式:x(x−5)=84
x²−5x=84
x²−5x−84=0
(x+7)(x−12)=0
x=−7とx=12が出ます。x=−7だと、(−7)=−7となり、長さが0以下になるので合いません。
x²−5x=84
x²−5x−84=0
(x+7)(x−12)=0
x=−7とx=12が出ます。x=−7だと、(−7)=−7となり、長さが0以下になるので合いません。
答え:横12cm(縦7cm)
②ある正方形の縦を2cm長く、横を5cm長くして長方形をつくったら、面積が108cm²になりました。もとの正方形の1辺は何cmですか。
答えを見る
式:(x+2)(x+5)=108
x×x+x×5+2×x+2×5=108
x²+7x+10=108
x²+7x−98=0
(x+14)(x−7)=0
x=−14とx=7が出ます。x=−14だと、(−14)=−14となり、長さが0以下になるので合いません。
x×x+x×5+2×x+2×5=108
x²+7x+10=108
x²+7x−98=0
(x+14)(x−7)=0
x=−14とx=7が出ます。x=−14だと、(−14)=−14となり、長さが0以下になるので合いません。
答え:7cm
③縦15m、横24mの長方形の土地に、縦の道1本と横の道1本を、土地の端から端まで同じ幅で通します。残りの面積が286m²のとき、道の幅は何mですか。
答えを見る
式:(15−x)(24−x)=286
15×24−15×x−x×24+x×x=286
x²−39x+360=286
x²−39x+74=0
(x−2)(x−37)=0
x=2とx=37が出ます。x=37だと、15−37=−22となり、長さが0以下になるので合いません。
15×24−15×x−x×24+x×x=286
x²−39x+360=286
x²−39x+74=0
(x−2)(x−37)=0
x=2とx=37が出ます。x=37だと、15−37=−22となり、長さが0以下になるので合いません。
答え:2m
④縦20cm、横30cmの長方形の厚紙の四隅から、同じ大きさの正方形を切り取って、ふたのない箱をつくります。底の面積が336cm²のとき、切り取る正方形の1辺は何cmですか。
答えを見る
式:(20−2x)(30−2x)=336
20×30−20×2x−2x×30+2x×2x=336
4x²−100x+600=336
4x²−100x+264=0
x²−25x+66=0
(x−3)(x−22)=0
x=3とx=22が出ます。x=22だと、20−2×22=−24となり、長さが0以下になるので合いません。
20×30−20×2x−2x×30+2x×2x=336
4x²−100x+600=336
4x²−100x+264=0
x²−25x+66=0
(x−3)(x−22)=0
x=3とx=22が出ます。x=22だと、20−2×22=−24となり、長さが0以下になるので合いません。
答え:3cm
⑤周の長さが24cmで、面積が32cm²の長方形があります。縦は横より短いとして、縦の長さを求めなさい。
答えを見る
式:x(12−x)=32
−x²+12x=32
−x²+12x−32=0
x²−12x+32=0
(x−4)(x−8)=0
x=4とx=8が出ます。x=8は問題の条件に合いません。
−x²+12x=32
−x²+12x−32=0
x²−12x+32=0
(x−4)(x−8)=0
x=4とx=8が出ます。x=8は問題の条件に合いません。
答え:縦4cm(横8cm)
⑥縦8m、横12mの長方形の花だんの、まわり四方に、同じ幅の道をつけます。道と花だんを合わせた全体の面積が192m²になるとき、道の幅は何mですか。
答えを見る
式:(8+2x)(12+2x)=192
8×12+8×2x+2x×12+2x×2x=192
4x²+40x+96=192
4x²+40x−96=0
x²+10x−24=0
(x+12)(x−2)=0
x=−12とx=2が出ます。x=−12だと、(−12)=−12となり、長さが0以下になるので合いません。
8×12+8×2x+2x×12+2x×2x=192
4x²+40x+96=192
4x²+40x−96=0
x²+10x−24=0
(x+12)(x−2)=0
x=−12とx=2が出ます。x=−12だと、(−12)=−12となり、長さが0以下になるので合いません。
答え:2m
💡二次方程式の解き方そのものを確かめたいときは、二次方程式の計算機で式を入れると、途中式つきで解きます。
二次方程式の文章題(面積)の解説プリント（先生が配る用・4面）
左が1面（6ステップ・例題1）、右が答え面（練習6問の答えと先生への使い方）のサンプルです。PDFは2種類。「問題PDF」は1〜4面（例題5つ・吟味のまとめ・ミス4選・練習6問）、「問題＋答えPDF」は1〜4面に答え面をつけた5面です。答え面は赤で、考え方つきです。
無料プリント印刷
二次方程式の文章題プリント｜辺の差（基本から応用まで5枚・答えつき）
辺の差の型を、やさしい順に5枚で練習します。1枚目は図つきで型をなぞり、2枚目は図なし、3枚目は聞かれ方がちがう問題、4枚目は解の吟味が決め手の問題、5枚目は条件がふえた問題です。1枚3問で、答えは別の答え面にあります。
無料プリント印刷
二次方程式の文章題プリント｜正方形の変形（基本から応用まで5枚・答えつき）
正方形の変形の型を、やさしい順に5枚で練習します。1枚目は図つきで型をなぞり、2枚目は図なし、3枚目は聞かれ方がちがう問題、4枚目は解の吟味が決め手の問題、5枚目は条件がふえた問題です。1枚3問で、答えは別の答え面にあります。
無料プリント印刷
二次方程式の文章題プリント｜道の幅（基本から応用まで5枚・答えつき）
道の幅の型を、やさしい順に5枚で練習します。1枚目は図つきで型をなぞり、2枚目は図なし、3枚目は聞かれ方がちがう問題、4枚目は解の吟味が決め手の問題、5枚目は条件がふえた問題です。1枚3問で、答えは別の答え面にあります。
無料プリント印刷
二次方程式の文章題プリント｜箱づくり（基本から応用まで5枚・答えつき）
箱づくりの型を、やさしい順に5枚で練習します。1枚目は図つきで型をなぞり、2枚目は図なし、3枚目は聞かれ方がちがう問題、4枚目は解の吟味が決め手の問題、5枚目は条件がふえた問題です。1枚3問で、答えは別の答え面にあります。
無料プリント印刷
二次方程式の文章題プリント｜周の長さ（基本から応用まで5枚・答えつき）
周の長さの型を、やさしい順に5枚で練習します。1枚目は図つきで型をなぞり、2枚目は図なし、3枚目は聞かれ方がちがう問題、4枚目は解の吟味が決め手の問題、5枚目は条件がふえた問題です。1枚3問で、答えは別の答え面にあります。
無料プリント印刷
二次方程式の利用・文章題のよくある質問
あわせて使いたい無料プリント
- 一次方程式の文章題
二次方程式の前に、表で整理して式を立てる文章題の型をおさらいしたいとき - 二次方程式の計算機
自分で立てた式の解と途中式を確かめたいとき - 解の公式のつかい方
因数分解できない式が出て、解の公式で解きたいとき - 二次方程式のプリント
文章題の前に、二次方程式の計算そのものを練習したいとき