部分分数分解（キセル算）のやり方【中学受験】分数の和を一瞬で｜例題・練習問題（答え付き）
中学受験の算数で出る「部分分数分解（ぶぶんぶんすうぶんかい）」を、しくみからやさしく解説します。中学受験では「キセル算」とも呼ばれる、分数のたし算の並びを一瞬で計算できる強力なテクニックです。公式・例題・練習問題（答え付き）まで、これ1ページでマスターできます。
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目次
部分分数分解とは？（しくみ）
「11×2」のような分数は、次のように2つの分数の引き算に分けられます。
11×2 = 11 − 12 12×3 = 12 − 13 13×4 = 13 − 14
この形にすると、となりの分数どうしが打ち消し合うのがポイントです。たとえば次のたし算を見てください。
11×2 + 12×3 + 13×4 + 14×5
=（11 − 12）+（12 − 13）+（13 − 14）+（14 − 15）
=（11 − 12）+（12 − 13）+（13 − 14）+（14 − 15）
まん中の −12 と +12、−13 と +13 … が次々に消えて、最初の 11 と最後の −15 だけが残ります。
= 1 − 15 = 45
まん中がごっそり消えて両はしだけ残るこの形が、キセル（羅宇＝両端に金具、まん中は竹筒だけの喫煙具）に似ていることから、中学受験では「キセル算」とも呼ばれます。
おぼえる公式
① となり合う数のとき：1n×(n+1) = 1n − 1n+1
② 間が2あくとき：1n×(n+2) = 12 ×（1n − 1n+2）
③ 差が d のとき（①②のまとめ）：1n×(n+d) = 1d ×（1n − 1n+d）
①は「11×2から1n×(n+1)までの和 = nn+1」と覚えておくと、さらに速く解けます。②のように間があくときは、差（ここでは2）で1回わるのを忘れないようにしましょう。
じつは①も②も、③のdに1や2を入れただけです。差が3でも4でも同じで、たとえば 11×4 + 14×7 + … のように差が3なら、最後に 13 をかけます。「差はいくつか」を最初に見て、その数でわる——これがこの単元のすべてです。
例題（解き方の流れ）
例題：11×2 + 12×3 + … + 19×10 を計算しなさい。
解き方：公式①の「和 = nn+1」を使います。最後が 19×10 なので n=9。
和 = 99+1 = 910
展開して書くと（1 − 12）+（12 − 13）+ … +（19 − 110）= 1 − 110 = 910。となりが消えるので、最初と最後だけを見ればOKです。
例題（とび型）：11×3 + 13×5 + 15×7 + 17×9 を計算しなさい。
解き方：公式②を使います。間が2あくので、となり型と同じように打ち消し合ったあと、最後に12をかけるのを忘れないようにしましょう。最初の数は1、最後の数は7です。
展開すると 12 ×[（11 − 13）+（13 − 15）+（15 − 17）+（17 − 19）]
まん中の項が消えて、残るのは最初の 11 と最後の 19 だけです。
= 12 ×（11 − 19）= 12 × 89 = 49
【応用】分母が3つの積のとき
ここまでは分母が2つの数のかけ算でした。難関校では11×2×3のように3つの積が出ます。分け方そのものが変わるので、公式①②はそのままでは使えません。
1A×B×C = 1C−A ×（1A×B − 1B×C）
2つの積のときは「1A と 1B の差」に分けましたが、3つの積では1A×B と 1B×C の差に分けます。となり合う項でうしろの1B×Cと次の1A×Bが同じ形になり、打ち消し合うしくみは同じです。
例題：11×2×3 + 12×3×4 + 13×4×5 を計算しなさい。
解き方：C−A = 3−1 = 2 なので、全体に 12 をかけます。残るのは最初の 11×2 と最後の 14×5 だけです。
= 12 ×（11×2 − 14×5）= 12 ×（1020 − 120）= 12 × 920 = 940
部分分数分解プリント｜となり型（無料・答えつき）
1/(n×(n+1)) ＝ 1/n − 1/(n+1)。となりが打ち消し合って「最初と最後」だけ残る練習プリントです。
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| プリント名 | 1枚印刷（答えつき） | 1枚印刷（答えなし） | 両面印刷 |
|---|---|---|---|
| となり型① | 答えつき | 答えなし | 両面（表裏で別問題） |
| となり型② | 答えつき | 答えなし | 両面（表裏で別問題） |
| 2枚まとめ | 答えつき2枚 | 答えなし2枚 | 両面2枚 |
部分分数分解プリント｜間が2あくとび型（無料・答えつき）
1/(n×(n+2)) ＝ 1/2 ×（1/n − 1/(n+2)）。差の2でわる、とび型の練習プリントです。
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印刷費節約バージョン（1枚に問題を最大数）
| プリント名 | 1枚印刷（答えつき） | 1枚印刷（答えなし） | 両面印刷 |
|---|---|---|---|
| とび型① | 答えつき | 答えなし | 両面（表裏で別問題） |
| とび型② | 答えつき | 答えなし | 両面（表裏で別問題） |
| 2枚まとめ | 答えつき2枚 | 答えなし2枚 | 両面2枚 |
部分分数分解プリント｜差が3以上（無料・答えつき）
1/(n×(n+d)) ＝ 1/d ×（1/n − 1/(n+d)）。差が3・4・5でも仕組みは同じ、最後に差でわる練習プリントです。
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| プリント名 | 1枚印刷（答えつき） | 1枚印刷（答えなし） | 両面印刷 |
|---|---|---|---|
| 差が3以上① | 答えつき | 答えなし | 両面（表裏で別問題） |
| 差が3以上② | 答えつき | 答えなし | 両面（表裏で別問題） |
| 2枚まとめ | 答えつき2枚 | 答えなし2枚 | 両面2枚 |
部分分数分解プリント｜総まとめ（無料・答えつき）
問題ごとに差がちがいます。まず「差はいくつか」を見て、わる数を決める練習プリントです。
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部分分数分解プリント｜3つの積【応用】（無料・答えつき）
1/(A×B×C) ＝ 1/(C−A) ×（1/(A×B) − 1/(B×C)）。分け方そのものが変わる応用の練習プリントです。
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