二次関数の文章題｜最大・最小の解き方と応用問題プリント【無料・答えつき】高校数学Ⅰ
二次関数の文章題は、「最大(最小)にしたい量をy、変える量をxとおく」ことと、「xの変域を先に決める」ことが出発点です。この記事では、変域を決めて、yをxの二次式で表し、平方完成して頂点を求める5ステップの型を、囲い・利益・ボール・動く点・2数の平方の和・変域の外に頂点がある場合の6つの例題で見せます。問題文の合図の表、xが整数に限られる特別な場合、二次方程式・平方完成との使い分けもまとめました。このすぐ下に、印刷して使える練習プリント(5つの型・計25枚)があります。解説は、そのあとに続きます。
目次
二次関数の文章題プリント｜囲い・面積（基本から応用まで5枚・答えつき）
囲い・面積の型を、やさしい順に5枚で練習します。1枚目は平方完成の型つきで型をなぞり、2枚目は型なしで式を自分でつくり、3枚目は聞かれ方がちがう問題、4枚目は変域や整数の条件で答えが変わる問題、5枚目は条件がふえた問題です。1枚3問で、答えは別の答え面にあります。
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二次関数の文章題プリント｜売上・利益（基本から応用まで5枚・答えつき）
売上・利益の型を、やさしい順に5枚で練習します。1枚目は平方完成の型つきで型をなぞり、2枚目は型なしで式を自分でつくり、3枚目は聞かれ方がちがう問題、4枚目は変域や整数の条件で答えが変わる問題、5枚目は条件がふえた問題です。1枚3問で、答えは別の答え面にあります。
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二次関数の文章題プリント｜ボールの高さ（基本から応用まで5枚・答えつき）
ボールの高さの型を、やさしい順に5枚で練習します。1枚目は平方完成の型つきで型をなぞり、2枚目は型なしで式を自分でつくり、3枚目は聞かれ方がちがう問題、4枚目は変域や整数の条件で答えが変わる問題、5枚目は条件がふえた問題です。1枚3問で、答えは別の答え面にあります。
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二次関数の文章題プリント｜動く点と面積（基本から応用まで5枚・答えつき）
動く点と面積の型を、やさしい順に5枚で練習します。1枚目は平方完成の型つきで型をなぞり、2枚目は型なしで式を自分でつくり、3枚目は聞かれ方がちがう問題、4枚目は変域や整数の条件で答えが変わる問題、5枚目は条件がふえた問題です。1枚3問で、答えは別の答え面にあります。
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二次関数の文章題プリント｜2数の和・積・平方和（基本から応用まで5枚・答えつき）
2数の和・積・平方和の型を、やさしい順に5枚で練習します。1枚目は平方完成の型つきで型をなぞり、2枚目は型なしで式を自分でつくり、3枚目は聞かれ方がちがう問題、4枚目は変域や整数の条件で答えが変わる問題、5枚目は条件がふえた問題です。1枚3問で、答えは別の答え面にあります。
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二次関数の文章題は、「最大(最小)にしたい量をy、変える量をxとおいて、yをxの二次式で表す」ことから始めてください。式ができたら、平方完成で頂点を求めます。ただし、そのまま頂点で答えてよいのは、頂点のxが、問題の条件から決まる変域に入っているときだけです。
二次関数の文章題とは?(高校数学Ⅰ・最大最小)
面積・利益・ボールの高さなどが、変える量xの二次式y=ax²+bx+cで表されるとき、yがいちばん大きくなる(小さくなる)ときのxとyの値を求める問題です。計算力より、「何をyとxにして、xの変域はどこまでか」を決める力が大切です。
x=変える量(橙)y=最大・最小にしたい量(緑)頂点の座標(桃)xの変域(青)
文部科学省の高等学校学習指導要領解説(数学編)(数学Ⅰ(3)二次関数の項)にも、二次関数の最大値や最小値を求めることと、具体的な事象について二次関数の最大・最小の考えを用いて問題を解決することが示されています。
二次関数の文章題(最大最小)の解き方は5ステップ
STEP1最大(最小)にしたい量をy、変える量をxとおく
STEP2xの変域を、問題の条件から決める
STEP3yをxの式で表す(二次式になる)
STEP4平方完成して、頂点を求める
STEP5頂点が変域に入るか確かめて、最大値(最小値)とそのときのxを答える
ステップ2の「xの変域」と、ステップ5の「頂点が変域に入るか」が、文章題のかぎです。変域のない二次関数の問題と違って、文章題では、長さは正・個数は0以上・時間は0以上のように、xがとれる範囲が決まっています。
二次関数の文章題・例題(6つの型)
例題1｜囲いの面積を最大にする
長さ40mの柵を使って、壁に沿った長方形の花だんをつくります。壁の側には柵を使いません。柵に直角な辺の長さをxm、花だんの面積をym²として、面積がいちばん大きくなるときのxと、その面積を求めなさい。
STEP1
最大にしたい量をy、変える量をxとおく
柵に直角な辺の長さをxm、花だんの面積をym²とする。
最大にしたい量(面積)がy。自由に変えられる量(長さ)がx。
STEP2
xの変域を決める
長さは0より大きい。壁に平行な辺は40−2x>0よりx<20。
変域は0<x<20。
変域は0<x<20。
文章題では、xのとれる範囲(変域)を、問題の条件から先に決める。あとで頂点の位置と比べるために使う。
STEP3
yをxの式で表す
壁に平行な辺の長さは40−2x(m)
y=x(40−2x)
y=−2x²+40x
y=x(40−2x)
y=−2x²+40x
面積=たて×よこ。柵は40mで、辺は壁側を除く3辺にだけ使うので、平行な辺は40−2x。
STEP4
平方完成して、頂点を求める
y=−2(x²−20x)
y=−2((x−10)²−100)
y=−2(x−10)²+200
頂点は(10,200)
y=−2((x−10)²−100)
y=−2(x−10)²+200
頂点は(10,200)
xの係数を2でくくり、(x−10)²の形にする。−2(x−10)²は0以下なので、x=10のとき最大になる。
STEP5
頂点が変域に入るか確かめて、答える
x=10は0<x<20に入る。
最大値200(m²)・そのときx=10
壁に平行な辺は40−2×10=20(m)
最大値200(m²)・そのときx=10
壁に平行な辺は40−2×10=20(m)
頂点のx座標が変域の中なら、頂点が最大(最小)。答えは、最大値と、そのときのxの2つ(きかれていれば、ほかの長さも)。
答え:x=10のとき最大値200m²（花だんは10m×20m）
例題2｜利益を最大にする（値下げと個数）
仕入れ値が1個100円の品物を、1個200円で売ると、1日に100個売れます。1円値下げするごとに、1日に売れる個数が2個ずつふえます。x円値下げするときの1日の利益をy円として、利益がいちばん大きくなるときのxと、その利益を求めなさい。
STEP1
最大にしたい量をy、変える量をxとおく
値下げする金額をx円、1日の利益をy円とする。
最大にしたい量(利益)がy。自由に変えられる量(値下げの金額)がx。
STEP2
xの変域を決める
値下げは0円以上。もうけが出る(売値が仕入れ値100円より高い)のは200−x>100よりx<100。
変域は0≦x<100。
変域は0≦x<100。
値下げしすぎて損が出る範囲は除く。
STEP3
yをxの式で表す
売値は200−x(円)、1個のもうけは(200−x)−100=100−x(円)
売れる個数は100+2x(個)
y=(100−x)(100+2x)
y=−2x²+100x+10000
売れる個数は100+2x(個)
y=(100−x)(100+2x)
y=−2x²+100x+10000
利益=1個のもうけ×売れる個数。展開して、xの二次式にする。
STEP4
平方完成して、頂点を求める
y=−2(x²−50x)+10000
y=−2(x−25)²+1250+10000
y=−2(x−25)²+11250
頂点は(25,11250)
y=−2(x−25)²+1250+10000
y=−2(x−25)²+11250
頂点は(25,11250)
かっこの中の半分の2乗(25²=625)をたして引く。−2をかけて外に出すと、−2×(−625)=+1250。
STEP5
頂点が変域に入るか確かめて、答える
x=25は0≦x<100に入る。
最大値11250(円)・そのときx=25(売値は200−25=175円)
最大値11250(円)・そのときx=25(売値は200−25=175円)
頂点のx座標が変域に入るので、そこが最大。売値(175円)に直して答えると、読む人に伝わる。
答え:x=25(175円で売る)のとき最大値11250円
例題3｜ボールの最高の高さ
地面から真上に投げ上げたボールの、投げてからx秒後の高さをymとすると、y=−5x²+30xと表されます。ボールがいちばん高くなるのは何秒後で、その高さは何mですか。また、ボールが地面に着くのは何秒後ですか。
STEP1
最大にしたい量をy、変える量をxとおく
投げてからの時間をx秒、ボールの高さをymとする。
高さ(最大にしたい量)がy、時間がx。
STEP2
xの変域を決める
式はy=−5x²+30x。ボールが地面にもどるのは、高さが0のとき。
−5x²+30x=0
−5x(x−6)=0
x=0、6
変域は0≦x≦6。
−5x²+30x=0
−5x(x−6)=0
x=0、6
変域は0≦x≦6。
高さが0になる時刻が、ボールが空中にいる時間のはじめと終わり。
STEP3
yをxの式で表す
y=−5x²+30x
(問題文で、式がすでに与えられている)
(問題文で、式がすでに与えられている)
この問題では、高さを表す式が最初に与えられている。式が与えられていないときは、面積や利益のように、自分で式をつくる。
STEP4
平方完成して、頂点を求める
y=−5(x²−6x)
y=−5((x−3)²−9)
y=−5(x−3)²+45
頂点は(3,45)
y=−5((x−3)²−9)
y=−5(x−3)²+45
頂点は(3,45)
かっこの中の半分の2乗(3²=9)をたして引く。−5×(−9)=+45。
STEP5
頂点が変域に入るか確かめて、答える
x=3は0≦x≦6に入る。
最高の高さ45(m)・そのとき3秒後
地面に着くのは6秒後
最高の高さ45(m)・そのとき3秒後
地面に着くのは6秒後
頂点が変域に入るので、そこが最高点。放物線は、頂点を通る縦の線について左右対称で、0秒と6秒のまんなか(3秒)が最高点になる。
答え:3秒後に最高の45m・地面に着くのは6秒後
例題4｜動く点と面積の最大
図の直角三角形ABC(∠B=90°、AB=12cm、BC=8cm)で、点PはAを出発してBまで毎秒2cm、点QはBを出発してCまで毎秒1cmで、同時に動きます。出発してからx秒後の三角形PBQの面積をycm²として、面積が最大になるのは何秒後で、そのときの面積は何cm²ですか。
STEP1
最大にしたい量をy、変える量をxとおく
出発してからの時間をx秒、三角形PBQの面積をycm²とする。
面積がy、時間がx。
STEP2
xの変域を決める
点PがAからBまで進むのは12÷2=6(秒)。点QがBからCまで進むのは8÷1=8(秒)。
点PがBに着くと三角形がなくなるので、変域は0≦x≦6。
点PがBに着くと三角形がなくなるので、変域は0≦x≦6。
動く点の問題では、どちらかの点が端に着くまでが変域。
STEP3
yをxの式で表す
PB=12−2x(cm)、BQ=x(cm)
y=(12−2x)×x÷2
y=−x²+6x
y=(12−2x)×x÷2
y=−x²+6x
三角形PBQは∠Bが直角の直角三角形。面積=底辺×高さ÷2=PB×BQ÷2。
STEP4
平方完成して、頂点を求める
y=−(x²−6x)
y=−((x−3)²−9)
y=−(x−3)²+9
頂点は(3,9)
y=−((x−3)²−9)
y=−(x−3)²+9
頂点は(3,9)
−1をかけて外に出す。−(x−3)²は0以下。
STEP5
頂点が変域に入るか確かめて、答える
x=3は0≦x≦6に入る。
最大値9(cm²)・そのとき3秒後
最大値9(cm²)・そのとき3秒後
頂点が変域に入るので、そこが最大。
答え:3秒後に最大9cm²
例題5｜平方の和の最小
和が12である2つの数があります。この2つの数の平方の和がいちばん小さくなるのは、2つの数がそれぞれいくつのときですか。また、そのときの平方の和を求めなさい。
STEP1
最小にしたい量をy、変える量をxとおく
2つの数のうち一方をx、平方の和をyとする。
最小にしたい量がy。2つの数のうち、一方をxとおく。
STEP2
xの変域を決める
和が12だから、もう一方は12−x。数の範囲に条件がないので、xはすべての実数。
変域は実数全体。
変域は実数全体。
「正の数」などの条件がなければ、変域の制限はない。
STEP3
yをxの式で表す
y=x²+(12−x)²
y=x²+144−24x+x²
y=2x²−24x+144
y=x²+144−24x+x²
y=2x²−24x+144
(12−x)²を展開して、同類項をまとめる。
STEP4
平方完成して、頂点を求める
y=2(x²−12x)+144
y=2(x−6)²−72+144
y=2(x−6)²+72
頂点は(6,72)
y=2(x−6)²−72+144
y=2(x−6)²+72
頂点は(6,72)
xの係数を2でくくる。半分の2乗(6²=36)を引いて、2倍の72をもどす。
STEP5
頂点が変域に入るか確かめて、答える
xは実数全体なので、x=6は変域に入る。
最小値72・そのときx=6(2つの数は6と6)
最小値72・そのときx=6(2つの数は6と6)
aが正(2)のときは、下に出っぱるグラフで、頂点が最小。aが負のときは、上に出っぱるグラフで、頂点が最大。
答え:どちらも6のとき最小値72
例題6｜頂点が変域の外にあるとき
例題1で、壁の長さが8mしかなく、壁に平行な辺を8m以下にしなければならないとします。このとき、花だんの面積がいちばん大きくなるxと、その面積を求めなさい。
STEP1
最大にしたい量をy、変える量をxとおく
例題1と同じ。柵に直角な辺をxm、面積をym²とする。
例題1と同じ式y=−2x²+40xになる。
STEP2
xの変域を決める
壁に平行な辺40−2xが8m以下なので、40−2x≦8よりx≧16。
x<20とあわせて、変域は16≦x<20。
x<20とあわせて、変域は16≦x<20。
壁の長さに制限があるので、変域がせまくなる。例題1の変域0<x<20とはちがう。
STEP3
yをxの式で表す
y=−2x²+40x
式は例題1と同じ。変域だけがちがう。
STEP4
平方完成して、頂点を求める
y=−2(x−10)²+200
頂点は(10,200)
頂点は(10,200)
平方完成は例題1と同じ。
STEP5
頂点が変域に入るか確かめて、答える
x=10は16≦x<20に入らない。
変域の中では、グラフは右下がり。xが小さいほどyが大きいので、変域の左の端x=16で最大。
最大値128(m²)・そのときx=16(壁に平行な辺は40−32=8m)
変域の中では、グラフは右下がり。xが小さいほどyが大きいので、変域の左の端x=16で最大。
最大値128(m²)・そのときx=16(壁に平行な辺は40−32=8m)
頂点が変域の外にあるときは、頂点ではなく、変域の端で最大(最小)になる。端の値を計算して答える。
答え:x=16のとき最大値128m²（花だんは16m×8m）
二次関数の文章題は問題文の合図からyとxを決める
文章題には、よく出る型があります。問題文のどの言葉がyで、どの言葉がxかを、先に決めます。
| 問題の見分け方 | yとxにするもの | 式のつくり方 | 例題 |
|---|---|---|---|
| 柵・ひもで囲む長方形の面積 | y=面積、x=柵に直角な辺 | 平行な辺=全体−2x。y=x×(全体−2x) | 例題1・6 |
| 値下げ(値上げ)と売れる個数・利益 | y=利益、x=値下げの金額 | y=(1個のもうけ)×(売れる個数) | 例題2 |
| 投げ上げたボールの高さ | y=高さ、x=時間 | 式が与えられる。最高点と、高さ0の時刻 | 例題3 |
| 二つの点が動いてできる図形の面積 | y=面積、x=時間 | 長さを速さ×時間で表し、面積の公式へ | 例題4 |
| 和が一定の2数の積・平方の和 | y=積(平方の和)、x=一方の数 | もう一方=和−x。式をつくって展開 | 例題5 |
二次関数の文章題でxが整数に限られる特別な場合
個数や人数のように、xが整数に限られるときは、頂点のxが整数でないことがあります。そのときは、頂点にいちばん近い整数のxで、yの値を比べます。
特別な場合｜xが整数に限られるとき
和が15である2つの整数の積の最大値を求めなさい。
STEP1
式をつくって、頂点を求める
一方をxとすると、もう一方は15−x
y=x(15−x)
y=−x²+15x
y=−(x−15/2)²+225/4
頂点は(7.5、56.25)
y=x(15−x)
y=−x²+15x
y=−(x−15/2)²+225/4
頂点は(7.5、56.25)
頂点のxが整数でないので、そのままでは答えにならない。
STEP2
整数のxの中で、頂点にいちばん近いものを比べる
x=7のときy=7×8=56
x=8のときy=8×7=56
x=6のときy=6×9=54
x=8のときy=8×7=56
x=6のときy=6×9=54
グラフは頂点について左右対称。頂点7.5にいちばん近い整数は、7と8(同じ距離)。
答え:56（2つの整数は7と8）。頂点の値56.25は、整数では実現できない。
二次関数の文章題は二次方程式・平方完成と使い分ける
| 知りたいこと | 使う道具 | 例 |
|---|---|---|
| yが、ある値になるときのxを知りたい | 二次方程式 | ボールが地面に着くのは何秒後?(例題3のy=0) |
| yの最大値・最小値と、そのときのxを知りたい | 平方完成(頂点を求める) | 面積や利益がいちばん大きいのは?(例題1・2) |
| xが決まった範囲(変域)にあるときの最大・最小 | 頂点が変域に入るか確かめる→入らなければ端で比べる | 壁の長さに制限があるとき(例題6) |
例題3で「ボールが地面に着く時刻」を求めたときは、y=0を二次方程式として解きました。「いちばん高いとき」を求めたときは、平方完成で頂点を求めました。きかれていることによって、使う道具が変わります。
二次関数の文章題でまちがえる!ミス4選
×まちがい
変域を決めずに頂点で答える壁が8m以下でもx=10
○正しい
頂点が変域の外なら、端で比べるx=16で最大128
×まちがい
平方完成で、符号をわすれるy=−2(x−10)²−200
○正しい
−2(x−10)²は0以下で、頂点のyが最大y=−2(x−10)²+200
×まちがい
最大値だけ答えて、xを書かない答え「200m²」
○正しい
きかれていれば、そのときのxも「x=10のとき最大値200m²」
×まちがい
整数の条件があるのに、頂点の値で答える56.25
○正しい
整数のxで比べる56(7と8のとき)
二次関数の文章題のコツ(覚え方)
文章題は3つの部品で組み立てます。
①yとxの決め方:最大(最小)にしたい量がy、自由に変えられる量がx
②xの変域:長さ・個数・時間の条件から、先に決める
③頂点と変域の比べ方:頂点のxが変域に入れば頂点、入らなければ変域の端
式が立たないときは、図や表をかいて、長さや個数をxで表してみましょう。
①yとxの決め方:最大(最小)にしたい量がy、自由に変えられる量がx
②xの変域:長さ・個数・時間の条件から、先に決める
③頂点と変域の比べ方:頂点のxが変域に入れば頂点、入らなければ変域の端
式が立たないときは、図や表をかいて、長さや個数をxで表してみましょう。
二次関数の文章題・練習問題6問(高校数学Ⅰ・答えは折りたたみ)
例題と同じ6つの型です。変域を先に決めてから、平方完成して、答えを開いて確かめましょう。
①長さ60mの柵で、壁に沿った長方形の畑をつくります。壁の側には柵を使いません。柵に直角な辺をxm、畑の面積をym²として、面積の最大値と、そのときのxを求めなさい。
答えを見る
式:y=−2x²+60x
y=−2(x−15)²+450。変域0<x<30にx=15が入る
y=−2(x−15)²+450。変域0<x<30にx=15が入る
答え:x=15のとき最大値450m²
②仕入れ値が1個20円の品物を、1個100円で売ると、1日に30個売れます。1円値下げするごとに、1日に売れる個数が3個ずつふえます。x円値下げするときの1日の利益をy円として、利益の最大値と、そのときのxを求めなさい。
答えを見る
式:y=−3x²+210x+2400
y=(80−x)(30+3x)=−3x²+210x+2400=−3(x−35)²+6075。変域0≦x<80にx=35が入る
y=(80−x)(30+3x)=−3x²+210x+2400=−3(x−35)²+6075。変域0≦x<80にx=35が入る
答え:x=35のとき最大値6075円
③地上1mの高さから真上に投げ上げたボールの、x秒後の高さをymとすると、y=−5x²+20x+1と表されます。ボールがいちばん高くなるのは何秒後で、その高さは何mですか。
答えを見る
式:y=−5x²+20x+1
y=−5(x−2)²+21。x=2のとき最大値21
y=−5(x−2)²+21。x=2のとき最大値21
答え:2秒後に最高の21m
④∠Bが直角の直角三角形ABC(AB=16cm、BC=10cm)で、点PはAからBまで毎秒2cm、点QはBからCまで毎秒1cmで同時に動きます。x秒後の三角形PBQの面積をycm²として、面積の最大値と、そのときのxを求めなさい。
答えを見る
式:y=−x²+8x
PB=16−2x、BQ=x。y=(16−2x)x÷2=−x²+8x=−(x−4)²+16。変域0≦x≦8にx=4が入る
PB=16−2x、BQ=x。y=(16−2x)x÷2=−x²+8x=−(x−4)²+16。変域0≦x≦8にx=4が入る
答え:x=4のとき最大値16cm²
⑤和が10である2つの数があります。この2つの数の平方の和の最小値と、そのときの2つの数を求めなさい。
答えを見る
式:y=2x²−20x+100
一方をxとすると、y=x²+(10−x)²=2x²−20x+100=2(x−5)²+50
一方をxとすると、y=x²+(10−x)²=2x²−20x+100=2(x−5)²+50
答え:どちらも5のとき最小値50
⑥長さ40mの柵で、壁に沿った長方形の花だんをつくります。壁に平行な辺を10m以下にします。柵に直角な辺をxm、面積をym²として、面積の最大値と、そのときのxを求めなさい。
答えを見る
式:y=−2x²+40x
40−2x≦10よりx≧15。変域15≦x<20。頂点x=10は変域の外。x=15のときy=15×10=150
40−2x≦10よりx≧15。変域15≦x<20。頂点x=10は変域の外。x=15のときy=15×10=150
答え:x=15のとき最大値150m²
💡二次方程式の解や平方完成の途中式を確かめたいときは、平方完成計算機を使います。頂点・軸・最大最小を途中式つきで求めます。