中3数学の円周角の練習問題プリント・ドリル【無料】間違えやすいところを直す（答えつき）
中学3年の円周角の無料プリントです。まず診断テストで間違えやすいところを見つけ、そこだけを「ここで間違えやすいこと」で確かめて直し、最後に定期テストの形のまとめテストで仕上げます。診断テストもまとめテストも答えつきで、印刷かごに入れるとまとめて1つのPDFにできます。
目次
診断テスト（2枚・答えつき）
伸びしろは、×の中にある。
間違えやすいところを1問ずつ集めた16問のテストです。答えの紙に、問題ごとに「よくある誤答」と「やるところ」を書いてあるので、苦手なところだけを選んで直せます。直したあと、1週間後にもう1つの診断テストBを解くと、苦手がなくなったかが分かります。
答えの紙には、問題ごとに「間違えやすいこと」と「やるところ」を書いています。
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診断テストのあとにやること
- 1診断テストAを解く16問・20分。分からない問題は空らんのままでOK
- 2答え合わせをする×だった問題の番号に丸をつける
- 3下の表で行き先を見る×の番号から「やるところ」を探す
- 4そのところの「ここで間違えやすいこと」を読む✕の答え方と、○の正しい答え方を見比べる
- 5教科書やワークで同じ形を解き直す直したところを、自分の手でもう一度
- 61週間後に診断テストB×が消えたか確かめる
全部○まとめテストへ進む
まだ×がある3にもどって、そのところだけもう一度
診断テストで×だった問題→やるところ
| 問題 | 間違えやすいこと | やるところ |
|---|---|---|
| 問1 | 2倍と半分の逆 | 円周角の定理へ |
| 問2 | 同じ弧でない角を等しいとする | 円周角の定理へ |
| 問3 | 大きい方の弧を使わない | 円周角の定理へ |
| 問4 | 半径の三角形の底角を円周角と同じに | 円周角の定理へ |
| 問5 | 中心角180°と同じに | 半円の弧に対する円周角へ |
| 問6 | 直径でないのに90° | 半円の弧に対する円周角へ |
| 問7 | 直角を使わない | 半円の弧に対する円周角へ |
| 問8 | 弧の比を逆に | 弧と円周角へ |
| 問9 | 同じ側か確かめない | 円周角の定理の逆へ |
| 問10 | 別の線分を見込む角を比べる | 円周角の定理の逆へ |
| 問11 | 接線と半径の90°を使わない | 接線と円周角へ |
| 問12 | 2本の接線の角を円周角と混同 | 接線と円周角へ |
| 問13 | 対応を取り違えて比を立てる | 円を使った相似の証明へ |
| 問14 | 弧の違う円周角を等しいとする | 円を使った相似の証明へ |
| 問15 | 円周上にない点に定理を使う | 円を使った相似の証明へ |
| 問16 | 対角を等しいとする | 円に内接する四角形へ |
円周角の流れ
- 円周角の定理
- 半円の弧に対する円周角
- 弧と円周角
- 円周角の定理の逆
- 接線と円周角
- 円を使った相似の証明
- 円に内接する四角形
円周角はどの教科書でもほぼこの順番で習います。下の小単元は、この順に並べています。
円周角の定理
診断テストの問1・問2・問3・問4が×だった人はここ
同じ弧に対する円周角は等しく、その弧に対する中心角の半分です。中心角から円周角を求めるときは半分に、円周角から中心角を求めるときは2倍にします。点が小さい方の弧の上にあるときは、向かい側の大きい弧（360°−中心角）を使います。中心Oと弦の両はしを結ぶと、OA＝OBの二等辺三角形ができ、底角は（180°−中心角）÷2です。
ここで間違えやすいこと
- 2倍と半分の逆✕円周角40°→中心角20°○正しい答え：80°なぜ間違えるか：中心角を求めるのに半分にする
- 中心角をそのまま✕中心角100°→円周角100°○正しい答え：50°なぜ間違えるか：中心角と円周角を同じ大きさとする
- 同じ弧でない角を等しいとする✕弧AB=80°・弧BC=100°の円で∠ACB=40°→∠BDC=40°○正しい答え：∠BDCは弧BCに対する角なので50°なぜ間違えるか：角の形の近さで等しいと決め、弧を確かめない
- 大きい方の弧を使わない✕∠AOB=100°、Pが小さい方の弧AB上→∠APB=50°○正しい答え：(360−100)÷2=130°なぜ間違えるか：円周角の点がある側の弧と反対側の弧を取り違える
見直しのコツ中心角か円周角かを先に決める。半分にするのは円周角の側。円周角が等しいのは、同じ弧に対する角どうしだけ。
半円の弧に対する円周角
診断テストの問5・問6・問7が×だった人はここ
直径に対する円周角は90°です。直径ABと円周上の点Cでできる△ABCは、Cが直角の直角三角形になります。逆に、円周上の点から見た角が直角なら、その線分は円の直径です。直径でない弦に対しては90°になりません。
ここで間違えやすいこと
- 中心角180°と同じに✕直径AB→∠ACB=180°○正しい答え：90°なぜ間違えるか：半円の中心角を円周角にそのまま使う
- 直径でないのに90°✕中心角120°の弦AB→∠ACB=90°○正しい答え：60°なぜ間違えるか：弦を見ただけで直角とする
- 直角を使わない✕AB直径・∠CAB=35°→∠ABC=180−35=145°○正しい答え：55°なぜ間違えるか：三角形の内角の和に90°を入れない
- 直角から直径の逆を使えない✕∠ACB=90°・AB=10→半径10○正しい答え：5なぜ間違えるか：90°の円周角の弦が直径とわからない
見直しのコツ直径かどうかを先に確かめる。直径なら90°を三角形の内角の和に入れて、残りの角を出す。
弧と円周角
診断テストの問8が×だった人はここ
同じ円では、弧の長さの比と、中心角の比・円周角の比はどれも等しくなります。円周をn等分した点では、1区間に対する中心角は360°÷n、円周角はその半分です。弧の長さは、円周角を中心角に直してから、円周の長さにその割合（中心角÷360°）をかけて求めます。
ここで間違えやすいこと
- 弧の比を逆に✕弧AB:弧BC=2:3・∠ADB=30°→∠BDC=20°○正しい答え：45°なぜ間違えるか：長い弧に小さい角を対応させる
- 円周角のまま弧の長さ✕半径6・円周角30°の弧→2π×6×30/360=π○正しい答え：中心角60°で2πなぜ間違えるか：中心角に直さずおうぎ形の式に入れる
- 等分点で中心角を使う✕円周を12等分した隣り合う2点に対する円周角→30°○正しい答え：15°なぜ間違えるか：1区間の円周角を360÷nにする
見直しのコツ弧の比は、角の比と同じ向きで対応させる。弧の長さは円周角のままでなく、中心角に直す。
円周角の定理の逆
診断テストの問9・問10が×だった人はここ
直線ABの同じ側にある2点P、Qについて∠APB＝∠AQBならば、4点A、B、P、Qは同じ円周上にあります。使うときは、2点が直線ABの同じ側にあること、等しい2つの角が同じ線分ABを見こむ角であることを確かめます。「4点が円周上にあるので角が等しい」と書くのは順番が逆で、逆の証明には使えません。
ここで間違えやすいこと
- 同じ側か確かめない✕A(−1,0)・B(1,0)・P(0,2)・Q(0,−2)で∠APB=∠AQB→4点は同じ円周上○正しい答え：P・Qが直線ABの反対側なので言えない。実際に同じ円周上にないなぜ間違えるか：直線の反対側の2点でも角が等しければ同一円周と判定
- 別の線分を見込む角を比べる✕∠BAC=∠ABD→4点A,B,C,Dは同じ円周上○正しい答え：比べるのは同じ線分BCを見込む∠BACと∠BDC。この図では同じ円周上にないなぜ間違えるか：等しい2角が同じ線分を見込んでいるか確かめない
- 逆の証明で定理（順）を使う✕「4点は円周上にあるので∠ABD=∠ACD。よって4点は同じ円周上」○正しい答え：∠ABD=∠ACDを別の根拠で示し、B・Cが直線ADの同じ側にあることを書いてから逆を使うなぜ間違えるか：示したいこと（同一円周上）を前提に円周角の定理を使う
見直しのコツ同じ側か、同じ線分を見こむ角か、の2つを確かめてから使う。結論を前提にしない。
接線と円周角
診断テストの問11・問12が×だった人はここ
円の接線は、接点を通る半径に垂直（90°）です。接線と、中心と円外の点を結ぶ線でできる三角形や、円外の点から引いた2本の接線と2本の半径でできる四角形の角は、90°を使って求めます。接線と弦のつくる角が、その弦に対する円周角に等しいこと（接弦定理）は、教科書によっては発展として扱います。
ここで間違えやすいこと
- 接線と半径の90°を使わない✕接線PA・∠APO=30°→∠AOP=180−30=150°○正しい答え：60°なぜ間違えるか：接点で直角ができることを入れずに内角を計算
- 2本の接線の角を円周角と混同✕2本の接線PA・PB・∠APB=50°→∠AOB=100°○正しい答え：四角形の内角360−90−90−50=130°なぜ間違えるか：∠APBを円周角とみて中心角を2倍で出す
- 接弦定理（発展）で半分にする✕接線ATと弦ABの角∠TAB=70°→∠ACB=35°○正しい答え：70°なぜ間違えるか：接線と弦の角を中心角とみなす
- 接弦定理（発展）で弧を取り違える✕∠TAB=70°、Cが∠TABの内側の弧上→∠ACB=70°○正しい答え：110°なぜ間違えるか：角の内側にある弧の上の点にも同じ角を使う
見直しのコツ接点では半径と接線が90°。四角形の内角の和は360°。接線どうしの角を円周角と取りちがえない。
円を使った相似の証明
診断テストの問13・問14・問15が×だった人はここ
円の2つの弦ABとCDが円の内部の点Pで交わるとき、同じ弧に対する円周角が等しいことから△PAC∽△PDBがいえます。対応する辺の比からPA:PD＝PC:PBが導け、長さを求められます。証明では「円周角の定理より」だけでなく、どの弧に対する円周角かを書きます。方べきの定理は高校の内容なので、中学の証明の根拠には使いません。
ここで間違えやすいこと
- 対応を取り違えて比を立てる✕弦AB・CDがPで交わる、PA=4・PB=6・PC=3→PA:PB=PC:PDでPD=9/2○正しい答え：PA:PD=PC:PB→8なぜ間違えるか：△PAC∽△PDBを△PAC∽△PBDと並べ、比を誤る
- 弧の違う円周角を等しいとする✕「∠PAC=∠PBD（同じ弧の円周角）」○正しい答え：∠PAC=∠PDB。どちらも弧BCに対する円周角なぜ間違えるか：同じ弧に対する角の組を確かめない
- 円周上にない点に定理を使う✕円の内側の点Eで∠AEB=∠ACB=40°○正しい答え：Eは円周上にないので等しくない。実際は40°より大きいなぜ間違えるか：点が円周上にあるかを確かめず円周角を等しいとする
- 方べきを根拠に使う✕「方べきの定理よりPA×PB=PC×PD」○正しい答え：△PAC∽△PDBを証明してからPA:PD=PC:PBを導くなぜ間違えるか：中学で証明していない公式を結論の根拠にする
見直しのコツ対応する頂点を順に書いてから比を立てる。等しい角は、弧を書いて根拠にする。点が円周上にあるかを確かめる。
円に内接する四角形
診断テストの問16が×だった人はここ
円に内接する四角形では、向かい合う角の和が180°で、1つの外角はそれと向かい合う内角に等しくなります。向かい合う角が等しくなるのは平行四辺形のときで、内接する四角形では等しいとは限りません（教科書では発展として扱う場合もあります）。
ここで間違えやすいこと
- 対角を等しいとする✕内接四角形ABCD・∠A=70°→∠C=70°○正しい答え：110°なぜ間違えるか：平行四辺形の性質と混同
- 外角を180−内対角にする✕∠A=70°・Cの外角→110°○正しい答え：70°なぜ間違えるか：外角と内対角が等しいことを使えない
見直しのコツ向かい合う角は足して180°。外角は、向かい合う内角と等しい。
まとめテスト（定期テストの形・2枚・答えつき）
ヒントなしで、いろいろな間違えやすさが混ざったテストです。50点満点・25分。時間を計って解きましょう。答えの紙には、採点のめやすと考え方の途中の式、「×だったらここ」を書いています。
①で間違えたところを直してから②に取り組むと、伸びたかが分かります。
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学校のワークで間違えたら
学校のワークやテストで間違えた答えの形から、どこでつまずいたかと、やるところを探せます。
| こう間違えた | つまずき | やるところ |
|---|---|---|
| 円周角40°→中心角20° | 2倍と半分の逆 | 円周角の定理 |
| 中心角100°→円周角100° | 中心角をそのまま | 円周角の定理 |
| 弧AB=80°・弧BC=100°の円で∠ACB=40°→∠BDC=40° | 同じ弧でない角を等しいとする | 円周角の定理 |
| ∠AOB=100°、Pが小さい方の弧AB上→∠APB=50° | 大きい方の弧を使わない | 円周角の定理 |
| ∠AOB=100°→∠OAB=50° | 半径の三角形の底角を円周角と同じに | 円周角の定理 |
| 直径AB→∠ACB=180° | 中心角180°と同じに | 半円の弧に対する円周角 |
| 中心角120°の弦AB→∠ACB=90° | 直径でないのに90° | 半円の弧に対する円周角 |
| AB直径・∠CAB=35°→∠ABC=180−35=145° | 直角を使わない | 半円の弧に対する円周角 |
| ∠ACB=90°・AB=10→半径10 | 直角から直径の逆を使えない | 半円の弧に対する円周角 |
| 弧AB:弧BC=2:3・∠ADB=30°→∠BDC=20° | 弧の比を逆に | 弧と円周角 |
| 半径6・円周角30°の弧→2π×6×30/360=π | 円周角のまま弧の長さ | 弧と円周角 |
| 円周を12等分した隣り合う2点に対する円周角→30° | 等分点で中心角を使う | 弧と円周角 |
| A(−1,0)・B(1,0)・P(0,2)・Q(0,−2)で∠APB=∠AQB→4点は同じ円周上 | 同じ側か確かめない | 円周角の定理の逆 |
| ∠BAC=∠ABD→4点A,B,C,Dは同じ円周上 | 別の線分を見込む角を比べる | 円周角の定理の逆 |
| 「4点は円周上にあるので∠ABD=∠ACD。よって4点は同じ円周上」 | 逆の証明で定理（順）を使う | 円周角の定理の逆 |
| 接線PA・∠APO=30°→∠AOP=180−30=150° | 接線と半径の90°を使わない | 接線と円周角 |
| 2本の接線PA・PB・∠APB=50°→∠AOB=100° | 2本の接線の角を円周角と混同 | 接線と円周角 |
| 接線ATと弦ABの角∠TAB=70°→∠ACB=35° | 接弦定理（発展）で半分にする | 接線と円周角 |
| ∠TAB=70°、Cが∠TABの内側の弧上→∠ACB=70° | 接弦定理（発展）で弧を取り違える | 接線と円周角 |
| 弦AB・CDがPで交わる、PA=4・PB=6・PC=3→PA:PB=PC:PDでPD=9/2 | 対応を取り違えて比を立てる | 円を使った相似の証明 |
| 「∠PAC=∠PBD（同じ弧の円周角）」 | 弧の違う円周角を等しいとする | 円を使った相似の証明 |
| 円の内側の点Eで∠AEB=∠ACB=40° | 円周上にない点に定理を使う | 円を使った相似の証明 |
| 「方べきの定理よりPA×PB=PC×PD」 | 方べきを根拠に使う | 円を使った相似の証明 |
| 「円周角の定理より∠PAC=∠PDB」 | 根拠の弧を書かない | 円を使った相似の証明 |
| 内接四角形ABCD・∠A=70°→∠C=70° | 対角を等しいとする | 円に内接する四角形 |
| ∠A=70°・Cの外角→110° | 外角を180−内対角にする | 円に内接する四角形 |
円周角は中3のどこで習う？つまずきやすい点と家庭での声かけ
円周角は、中学校学習指導要領解説数学編では第3学年の「B図形」で学ぶ内容です。円周角と中心角の関係の意味を理解し、それを証明できることや、関係を見いだして具体的な場面で使うことがねらいです。このページの診断テストとまとめテストは、この単元で間違えやすい点を、誤答の形から集めたものです。
| 学年 | 学校で学ぶこと | つながる先 |
|---|---|---|
| 小6 | 円の面積・拡大図と縮図 | 円の基本の性質の土台 |
| 中1 | 円とおうぎ形・円の接線 | 弧の長さと中心角が比例することが土台 |
| 中2 | 二等辺三角形・三角形の外角・多角形の内角の和・合同の証明 | 円の中の角の計算と証明の型につながる |
| 中3（この単元） | 円周角と中心角の関係・その活用（円周角の定理の逆・接線・弦の交わり・内接四角形など） | 相似・三平方の定理とあわせて図形を考える |
| 高校数学A | 図形の性質（円に内接する四角形・接弦定理・方べきの定理） | 円の性質がさらにつながる |
中心角と円周角の半分・2倍を逆にする
円周角が40°のとき、中心角を20°としていたら、半分にする向きが逆です。中心角は円周角の2倍なので80°です。
声かけ中心角と円周角、どちらが大きいかな？
直径でないのに円周角を90°にする
中心角が140°の弦ABに対する円周角を90°としていたら、弦を直径と見まちがえています。直径でない弦なので、円周角は中心角の半分の70°です。
声かけその線分は、円の中心を通っているかな？
結論を前提にして逆の定理を使う
「4点は円周上にあるので∠ABD＝∠ACD。よって4点は同じ円周上」と書いていたら、示したいことを先に使っています。同じ側にあることと角が等しいことを別に示してから、円周角の定理の逆を使います。
声かけ示したいことを、先に使っていないかな？
家庭でできること診断テストAで×だった番号を小単元ごとに数え、×が多い小単元の「ここで間違えやすいこと」を声に出して読むと、どこで考え違いをしたかを本人が説明できます。円周角の問題は、図に「この角はどの弧に対する角か」を矢印や印で書き込むと、取りちがえに気づけます。中心角と円周角は、まず同じ弧に対する角かどうかを確かめてから、半分か2倍かを決めます。直したあと、1週間おいて診断テストBを解くと、直ったかどうかが分かります。
この記事で参考にした資料
- 中学校学習指導要領（平成29年告示）解説数学編（文部科学省・平成29年7月・PDF）…第3学年「B図形」の円周角と中心角の関係の位置づけ（円周角と中心角の関係の意味の理解と証明・具体的な場面での活用）の確認に使いました
リンク先はいずれも公的機関・学術データベースの資料です（最終確認2026年10月15日）。