中学3年の関数y＝ax²の無料プリントです。まず診断テストで間違えやすいところを見つけ、そこだけを「ここで間違えやすいこと」で確かめて直し、最後に定期テストの形のまとめテストで仕上げます。診断テストもまとめテストも答えつきで、印刷かごに入れるとまとめて1つのPDFにできます。
診断テスト（2枚・答えつき）
伸びしろは、×の中にある。
間違えやすいところを1問ずつ集めた20問のテストです。答えの紙に、問題ごとに「よくある誤答」と「やるところ」を書いてあるので、苦手なところだけを選んで直せます。直したあと、1週間後にもう1つの診断テストBを解くと、苦手がなくなったかが分かります。
答えの紙には、問題ごとに「間違えやすいこと」と「やるところ」を書いています。
診断テストのあとにやること
- 1診断テストAを解く20問・20分。分からない問題は空らんのままでOK
- 2答え合わせをする×だった問題の番号に丸をつける
- 3下の表で行き先を見る×の番号から「やるところ」を探す
- 4そのところの「ここで間違えやすいこと」を読む✕の答え方と、○の正しい答え方を見比べる
- 5教科書やワークで同じ形を解き直す直したところを、自分の手でもう一度
- 61週間後に診断テストB×が消えたか確かめる
診断テストで×だった問題→やるところ
| 問題 | 間違えやすいこと | やるところ |
|---|---|---|
| 問1 | 比例と同じ増え方 | y=ax²の式へ |
| 問2 | aをy÷xで出す | y=ax²の式へ |
| 問3 | 負のxの2乗 | y=ax²の式へ |
| 問4 | a<0の向き | グラフの形（向きと開き）へ |
| 問5 | 開きと｜a｜の逆 | グラフの形（向きと開き）へ |
| 問6 | 折れ線で結ぶ | グラフをかくへ |
| 問7 | x=0の見落とし | 変域（0をまたぐ）へ |
| 問8 | a<0で最大が0 | 変域（0をまたぐ）へ |
| 問9 | 変域からaで端の取り違え | 変域からaを求めるへ |
| 問10 | 一定だと思う | 変化の割合へ |
| 問11 | yの増加量で止める | 変化の割合へ |
| 問12 | 負の区間の分母 | 変化の割合へ |
| 問13 | a(p+q)をa(q−p) | 変化の割合の公式と平均の速さへ |
| 問14 | 平均の速さを距離÷時刻 | 変化の割合の公式と平均の速さへ |
| 問15 | 交点のyで負の2乗 | 放物線と直線①交点と直線の式へ |
| 問16 | 傾きの分母の符号 | 放物線と直線①交点と直線の式へ |
| 問17 | 三角形を分ける幅を符号のまま | 放物線と直線②三角形の面積へ |
| 問18 | 場面で比例と同じ増え方 | 利用：2乗に比例する量へ |
| 問19 | 時間の負の解を残す | 利用：2乗に比例する量へ |
| 問20 | 境目の含む・含まない | 利用：料金の階段関数へ |
関数y＝ax²の流れ
- y＝ax²の式
- グラフの形（向きと開き）
- グラフをかく
- 変域
- 変域からaを求める
- 変化の割合
- 変化の割合の公式と平均の速さ
- 放物線と直線（交点と直線の式）
- 放物線と直線（三角形の面積）
- 利用（2乗に比例する量）
- 利用（料金の階段）
関数y＝ax²はどの教科書でもほぼこの順番で習います。下の小単元は、この順に並べています。
y=ax²の式
診断テストの問1・問2・問3が×だった人はここ
yがxの2乗に比例するとき、y＝ax²（aは比例定数）と表せます。xがk倍になるとyはk²倍になります（比例y＝axではk倍）。aはy÷x²で求めます。(−2)²は4で、−4ではありません。
ここで間違えやすいこと
- 比例と同じ増え方✕y=2x²でxが3倍になるとyは3倍○正しい答え：9倍なぜ間違えるか：xが3倍でyも3倍とする
- aをy÷xで出す✕x=2のときy=12→a=6○正しい答え：a=12/2²=3なぜ間違えるか：比例y=axのa=y/xを流用
- 負のxの2乗✕x=−2のときy=−8→a=−8/(−4)=2○正しい答え：a=−8/4=−2なぜ間違えるか：(−2)²を−4
- ax²を(ax)²✕y=3x²でx=2→(3×2)²=36○正しい答え：12なぜ間違えるか：係数まで2乗する
見直しのコツxの値を入れた2乗の計算（(−2)²＝4）を確かめる。aはy÷x²で、y÷xではない。
グラフの形（向きと開き）
診断テストの問4・問5が×だった人はここ
y＝ax²のグラフは、原点が頂点でy軸について対称な放物線です。a＞0なら上に開き、a＜0なら下に開きます。|a|が大きいほど細くなります（aが負でも|a|で比べます）。y＝ax²とy＝−ax²のグラフはx軸について対称です。
ここで間違えやすいこと
- a<0の向き✕y=−2x²は(1,2)を通る○正しい答え：(1,−2)・下に開くなぜ間違えるか：x²は正なのでyも正と思う
- 開きと｜a｜の逆✕y=2x²とy=½x²でy=½x²が細い○正しい答え：y=2x²。y=2にx=1で届くなぜ間違えるか：分数のほうが細いと思う
- 対称の軸の取り違え✕「y=−2x²はy=2x²とy軸について対称」○正しい答え：x軸について対称。(1,2)と(1,−2)なぜ間違えるか：y=2x²とy=−2x²の関係をy軸対称とする
- a<0でaの大小で開き✕y=−3x²とy=−x²でy=−x²が細い○正しい答え：｜−3｜が大きいy=−3x²なぜ間違えるか：−1>−3だからy=−x²が細い
見直しのコツaの符号で向きを、|a|で細さを決める。aが負のときはyが負になるか確かめる。
グラフをかく
診断テストの問6が×だった人はここ
グラフは、xの値をいくつか決めてyを求めた点（原点を含む）を取り、なめらかな曲線でつなぎます。点を直線で結ぶと、点と点の間の値がずれます。y＝x²のx＝1.5のときのyは2.25で、(1，1)と(2，4)の中点2.5ではありません。
ここで間違えやすいこと
- 折れ線で結ぶ✕y=x²のx=3/2のyを(1,1)・(2,4)の中点で5/2○正しい答え：9/4なぜ間違えるか：点を直線でつなぎ、原点をとがらせる
見直しのコツ点と点の間の値は、直線の中点でなく、式にxを入れて出す。
変域（0をまたぐ）
診断テストの問7・問8が×だった人はここ
xの変域に0が入るときは、グラフの頂点（原点）を通るので、a＞0ならyの最小値は0、a＜0なら最大値は0になります。両端のyだけで決めてはいけません。xの変域が負だけのときは、xが小さい（絶対値が大きい）ほうのyが大きくなるので、yの変域は小さい順に書きます。
ここで間違えやすいこと
- x=0の見落とし✕y=x²（−2≦x≦3）→4≦y≦9○正しい答え：0≦y≦9なぜ間違えるか：一次関数のように両端のyだけで決める
- xの順にyを並べる✕y=x²（−3≦x≦−1）→9≦y≦1○正しい答え：1≦y≦9なぜ間違えるか：小さいxのyを下限に書く
- a<0で最大が0✕y=−2x²（−1≦x≦2）→−8≦y≦−2○正しい答え：−8≦y≦0なぜ間違えるか：最大を端の値にする
見直しのコツxの変域に0があるかを先に見る。yの変域は「小さい値≦y≦大きい値」の順に書く。
変域からaを求める
診断テストの問9が×だった人はここ
yの変域からaを求めるときは、xの変域のうち|x|が大きいほうの端でyが最大になる（a＞0のとき）ことを使います。たとえば−2≦x≦4で0≦y≦8なら、x＝4で最大8なので16a＝8、a＝1/2です。
ここで間違えやすいこと
- 変域からaで端の取り違え✕y=ax²（−2≦x≦4）で0≦y≦8→4a=8→a=2○正しい答え：16a=8→a=1/2なぜ間違えるか：yの最大を与えるxを絶対値の小さい端にする
見直しのコツ|x|の大きい端でaを求め、もう一方の端でも変域に収まるか確かめる。
変化の割合
診断テストの問10・問11・問12が×だった人はここ
変化の割合は（yの増加量）÷（xの増加量）です。y＝ax²では一次関数と違って一定ではなく、xの区間によって変わります（y＝x²でxが1から3なら(9−1)÷(3−1)＝4）。xの増加量は「あとの値−まえの値」で、負の区間では符号に注意します。
ここで間違えやすいこと
- 一定だと思う✕y=x²でxが1から3→変化の割合1○正しい答え：(9−1)/(3−1)=4。2から4なら6なぜ間違えるか：一次関数の「変化の割合＝傾きa」を流用
- yの増加量で止める✕y=2x²でxが1から3→16○正しい答え：16/2=8なぜ間違えるか：xの増加量でわらない
- 負の区間の分母✕y=x²でxが−3から−1→(1−9)/(−1−3)=2○正しい答え：(1−9)/2=−4なぜ間違えるか：xの増加量−1−(−3)を−1−3
見直しのコツyの増加量をxの増加量でわったか確かめる。xが負の区間は、あとの値からまえの値をひく。
変化の割合の公式と平均の速さ
診断テストの問13・問14が×だった人はここ
y＝ax²でxがpからqまで増えるときの変化の割合はa(p＋q)です（a(q−p)ではありません）。落下運動の平均の速さは変化の割合と同じで、たとえばy＝5x²の1秒後から3秒後なら5×(1＋3)＝20で毎秒20mです。
ここで間違えやすいこと
- a(p+q)をa(q−p)✕y=2x²でxが1から3→2×(3−1)=4○正しい答え：2×(1+3)=8なぜ間違えるか：公式の和を差と覚える
- 平均の速さを距離÷時刻✕y=5x²（落下）の1秒後〜3秒後の平均の速さ→45÷3=15m/秒○正しい答え：(45−5)/(3−1)=20m/秒なぜ間違えるか：0秒からの距離を時刻でわる
見直しのコツ公式は和（p＋q）。平均の速さは「距離÷時刻」でなく、2つの時刻の距離の差÷時間の差。
放物線と直線①交点と直線の式
診断テストの問15・問16が×だった人はここ
交点は、放物線の式と直線の式を連立してxを求めます。yは放物線の式y＝ax²にxを入れて出します（x＝−1ならy＝(−1)²＝1）。2点を通る直線の傾きは（yの差）÷（xの差）で、xの差を出すときの符号に注意します。
ここで間違えやすいこと
- 交点のyで負の2乗✕y=x²とy=x+2の交点→(2,4)・(−1,−1)○正しい答え：(−1,1)なぜ間違えるか：x=−1をy=x²に入れて−1
- 傾きの分母の符号✕A(−1,1)・B(2,4)を通る直線→傾き3→y=3x−2○正しい答え：傾き1→y=x+2なぜ間違えるか：xの差2−(−1)を2−1
- 切片−apqの符号✕p=−1,q=2・a=1→切片−2○正しい答え：−apq=2なぜ間違えるか：y=ax²上x=p,qを通る直線の切片をapq
見直しのコツ交点のxが負のとき、2乗は正になる。傾きの分母は「あとのx−まえのx」。
放物線と直線②三角形の面積
診断テストの問17が×だった人はここ
O・A・Bを頂点とする三角形の面積は、直線ABとy軸の交点で△OABを2つの三角形に分けて求めます。左右の底辺の長さはy軸からの距離（x座標の絶対値）で足します。A(−1，1)・B(2，4)なら½×2×1＋½×2×2＝3です。
ここで間違えやすいこと
- 三角形を分ける幅を符号のまま✕△OAB→½×2×(−1+2)=1○正しい答え：½×2×(1+2)=3なぜ間違えるか：y軸上の点で2つに分けた三角形の高さにx座標−1をそのまま足す
見直しのコツx座標が負の点は、y軸からの距離を絶対値で足す。
利用：2乗に比例する量
診断テストの問18・問19が×だった人はここ
制動距離は速さの2乗に比例するので、速さが2倍になると距離は2²＝4倍です（2倍ではありません）。落下の問題で時間を求めるとき、x²＝9からx＝3，−3が出ますが、時間は負にならないので答えは3秒後だけです。
ここで間違えやすいこと
- 場面で比例と同じ増え方✕時速40kmで8m→時速80kmで16m○正しい答え：2²倍の32mなぜ間違えるか：速さ2倍で制動距離も2倍
- 時間の負の解を残す✕y=5x²で45m落ちるのは→3秒後と−3秒後○正しい答え：3秒後なぜ間違えるか：x²=9の±を両方答える
見直しのコツ答えが場面に合うか（時間・長さが負でないか）を確かめる。倍率は2乗で考える。
利用：料金の階段関数
診断テストの問20が×だった人はここ
料金のように段になって増える関数は、境目の値がどちらの段に入るかを「まで」「をこえて」で決めます（「1kmまで400円」ならちょうど1kmは400円）。段の間を直線でつなぐと、値がずれます。
ここで間違えやすいこと
- 境目の含む・含まない✕1kmまで400円・1kmをこえて2kmまで480円→ちょうど1kmは480円○正しい答え：400円なぜ間違えるか：「1kmまで」に1kmを入れない
- 階段を直線でつなぐ✕6-3の料金で1.5km→440円○正しい答え：480円なぜ間違えるか：一次関数のように点を結ぶ
見直しのコツ「まで」は含む・「をこえて」は含まない。段の間は直線でつながない。
まとめテスト（定期テストの形・2枚・答えつき）
ヒントなしで、いろいろな間違えやすさが混ざったテストです。50点満点・25分。時間を計って解きましょう。答えの紙には、採点のめやすと考え方の途中の式、「×だったらここ」を書いています。
①で間違えたところを直してから②に取り組むと、伸びたかが分かります。
学校のワークで間違えたら
学校のワークやテストで間違えた答えの形から、どこでつまずいたかと、やるところを探せます。
| こう間違えた | つまずき | やるところ |
|---|---|---|
| y=2x²でxが3倍になるとyは3倍 | 比例と同じ増え方 | y=ax²の式 |
| x=2のときy=12→a=6 | aをy÷xで出す | y=ax²の式 |
| x=−2のときy=−8→a=−8/(−4)=2 | 負のxの2乗 | y=ax²の式 |
| y=3x²でx=2→(3×2)²=36 | ax²を(ax)² | y=ax²の式 |
| y=−2x²は(1,2)を通る | a<0の向き | グラフの形（向きと開き） |
| y=2x²とy=½x²でy=½x²が細い | 開きと｜a｜の逆 | グラフの形（向きと開き） |
| y=x²のx=3/2のyを(1,1)・(2,4)の中点で5/2 | 折れ線で結ぶ | グラフをかく |
| 「y=−2x²はy=2x²とy軸について対称」 | 対称の軸の取り違え | グラフの形（向きと開き） |
| y=−3x²とy=−x²でy=−x²が細い | a<0でaの大小で開き | グラフの形（向きと開き） |
| y=x²（−2≦x≦3）→4≦y≦9 | x=0の見落とし | 変域（0をまたぐ） |
| y=x²（−3≦x≦−1）→9≦y≦1 | xの順にyを並べる | 変域（0をまたぐ） |
| y=−2x²（−1≦x≦2）→−8≦y≦−2 | a<0で最大が0 | 変域（0をまたぐ） |
| y=ax²（−2≦x≦4）で0≦y≦8→4a=8→a=2 | 変域からaで端の取り違え | 変域からaを求める |
| y=x²でxが1から3→変化の割合1 | 一定だと思う | 変化の割合 |
| y=2x²でxが1から3→16 | yの増加量で止める | 変化の割合 |
| y=2x²でxが1から3→2×(3−1)=4 | a(p+q)をa(q−p) | 変化の割合の公式と平均の速さ |
| y=x²でxが−3から−1→(1−9)/(−1−3)=2 | 負の区間の分母 | 変化の割合 |
| y=5x²（落下）の1秒後〜3秒後の平均の速さ→45÷3=15m/秒 | 平均の速さを距離÷時刻 | 変化の割合の公式と平均の速さ |
| y=x²とy=x+2の交点→(2,4)・(−1,−1) | 交点のyで負の2乗 | 放物線と直線①交点と直線の式 |
| A(−1,1)・B(2,4)を通る直線→傾き3→y=3x−2 | 傾きの分母の符号 | 放物線と直線①交点と直線の式 |
| p=−1,q=2・a=1→切片−2 | 切片−apqの符号 | 放物線と直線①交点と直線の式 |
| △OAB→½×2×(−1+2)=1 | 三角形を分ける幅を符号のまま | 放物線と直線②三角形の面積 |
| 時速40kmで8m→時速80kmで16m | 場面で比例と同じ増え方 | 利用：2乗に比例する量 |
| y=5x²で45m落ちるのは→3秒後と−3秒後 | 時間の負の解を残す | 利用：2乗に比例する量 |
| 1kmまで400円・1kmをこえて2kmまで480円→ちょうど1kmは480円 | 境目の含む・含まない | 利用：料金の階段関数 |
| 6-3の料金で1.5km→440円 | 階段を直線でつなぐ | 利用：料金の階段関数 |
関数y=ax²は中3のどこで習う？つまずきやすい点と家庭での声かけ
関数y＝ax²は、中学校学習指導要領解説数学編では第3学年の「C関数」で学ぶ内容です。身の回りの事象から二つの数量を取り出し、その変化や対応を調べながら、関数y＝ax²を理解することがねらいです。このページの診断テストとまとめテストは、この単元で間違えやすい点を、誤答の形から集めたものです。
| 学年 | 学校で学ぶこと | つながる先 |
|---|---|---|
| 中1 | 比例・反比例（比例定数・グラフ）、正負の数（累乗） | 2乗に比例との比べ方・(−2)²の計算の土台 |
| 中2 | 一次関数（変化の割合・2点を通る直線・三角形の面積） | 変化の割合が一定でないことと比べる土台 |
| 中3（この単元） | 関数y＝ax²（2乗に比例・グラフ・変域・変化の割合・放物線と直線・利用） | 三平方の定理・高校の二次関数へ |
| 高校数学Ⅰ・Ⅱ | 二次関数（平方完成）・微分（平均変化率から瞬間の変化率） | グラフの頂点・変化の割合の考え方がつながる |
2乗を取り違える
y＝3x²でx＝2のとき(3×2)²＝36としていたら、係数まで2乗しています。2乗するのはxだけで、3×2²＝12です。
変域で0を落とす
y＝x²（−2≦x≦3）の変域を4≦y≦9としていたら、x＝0を通ることを見落としています。0を通るので最小は0で、0≦y≦9です。
変化の割合を一定だと思う
y＝x²でxが1から3のとき変化の割合を1としていたら、一次関数の傾きと同じと考えています。(9−1)÷(3−1)＝4で、区間によって変わります。
家庭でできること診断テストAで×だった番号を小単元ごとに数え、×が多い小単元の「ここで間違えやすいこと」を声に出して読むと、どこで考え違いをしたかを本人が説明できます。変域や変化の割合は、xに具体的な値を入れてyを出し、答えと見比べると検算になります。直したあと、1週間おいて診断テストBを解くと、直ったかどうかが分かります。
この記事で参考にした資料
- 中学校学習指導要領（平成29年告示）解説数学編（文部科学省・平成29年7月・PDF）…第3学年「C関数」の位置づけ（二つの数量の変化や対応を調べて関数y＝ax²を理解する）の確認に使いました
リンク先はいずれも公的機関・学術データベースの資料です（最終確認2026年10月13日）。
よくある質問
1日に何枚やればいいですか？
1日1枚（10〜15分）が目安です。テスト前は診断テストで×だったところを1日2つまでにして、残りの時間を見直しに使ってください。
y＝ax²のaが負だと、グラフはどうなりますか？
aが負のとき、グラフは下に開きます。yはいつも0以下で、頂点（原点）が最大値の点です。|a|が大きいほど細くなるのは、aが正のときと同じです。
教科書が違っても使えますか？
使えます。関数y＝ax²はどの教科書でもほぼ同じ順番で習います。
診断テストが全部○でした。
まとめテストに進んでください。
変化の割合は、一次関数と何がちがいますか？
一次関数の変化の割合は傾きaで一定ですが、y＝ax²の変化の割合はxの区間によって変わります。xがpからqまで増えるときの変化の割合はa(p＋q)です。