因数分解と展開の練習問題プリント【中3・無料】診断テストで間違えやすいところを直す（答えつき）

中学3年の展開と因数分解の無料プリントです。まず診断テストで間違えやすいところを見つけ、そこだけを「ここで間違えやすいこと」で確かめて直し、最後に定期テストの形のまとめテストで仕上げます。診断テストもまとめテストも答えつきで、印刷かごに入れるとまとめて1つのPDFにできます。

診断テスト（2枚・答えつき）

伸びしろは、×の中にある。

間違えやすいところを1問ずつ集めた20問のテストです。答えの紙に、問題ごとに「よくある誤答」と「やるところ」を書いてあるので、苦手なところだけを選んで直せます。直したあと、1週間後にもう1つの診断テストBを解くと、苦手がなくなったかが分かります。

答えの紙には、問題ごとに「間違えやすいこと」と「やるところ」を書いています。

プリント名	問題PDF	問題＋答えPDF	印刷かご
診断テスト［A］	問題	答えつき
診断テスト［B］（1週間後に）	問題	答えつき
2枚まとめ	問題2枚	答えつき4枚

診断テストのあとにやること

診断テストで×だった問題→やるところ

展開と因数分解の流れ

1. 単項式×多項式・÷単項式
2. 多項式×多項式
3. 乗法公式（3つ）
4. いろいろな展開
5. 共通因数でくくる
6. 公式による因数分解
7. いろいろな因数分解
8. 式の計算の利用

展開と因数分解はどの教科書でもほぼこの順番で習います。下の小単元は、この順に並べています。

単項式×多項式・÷単項式

診断テストの問1・問2が×だった人はここ

単項式×多項式は、単項式を多項式の全部の項にかけます（分配法則）。多項式÷単項式は、全部の項を単項式でわります。同じ文字をかけるときは指数をたします（x×x＝x²）。

見直しのコツかけた（わった）あと、答えの項の数がもとの多項式と同じか数える。

多項式×多項式の展開

診断テストの問3が×だった人はここ

多項式×多項式は、一方の各項をもう一方の全部の項にかけて、同類項をまとめます。2項×2項なら積は4つ、2項×3項なら6つできます。

見直しのコツ積の個数（2項×3項なら6つ）を先に数えてから、同類項をまとめる。

乗法公式①(x+a)(x+b)

診断テストの問4が×だった人はここ

(x＋a)(x＋b)＝x²＋(a＋b)x＋abを使います。xの係数はaとbの和、定数項は積です。a・bが負の数でも文字を含んでいても、和と積を符号つきで求めます。

見直しのコツ和（xの係数）と積（定数項）を、符号をつけたまま別々に書く。

乗法公式②平方の展開

診断テストの問5・問6が×だった人はここ

(x＋a)²＝x²＋2ax＋a²、(x−a)²＝x²−2ax＋a²を使います。2乗はかっこの中の全部にかかり、真ん中の項は2×a×xです。xに係数がつくときは(2x)²＝4x²と、係数も2乗します。

見直しのコツ展開したら、項が3つできているか（真ん中の項があるか）確かめる。

乗法公式③和と差の積

診断テストの問7が×だった人はここ

(x＋a)(x−a)＝x²−a²を使います。和と差の積では真ん中の項が消え、答えは「2乗−2乗」の2項になります。(−a＋b)(a＋b)のように並びが入れかわったときは、(b−a)(b＋a)＝b²−a²のように形をそろえます。

見直しのコツ並びが変わったら、(b−a)(b＋a)のように形をそろえてから公式を使う。

乗法公式の見分け方

診断テストの問8が×だった人はここ

展開の式を見たら、使える公式を形で選びます。(x＋a)(x＋b)の公式は、どちらのxの係数も1のときだけ使えます。(2x＋1)(x＋3)のように係数が1でないときは、公式をそのまま当てはめず、4つの積を作って同類項をまとめます。

見直しのコツ公式が使える形か（xの係数が1か・同じ数の和と差か）確かめてから、公式を使う。

置き換え・3項の2乗の展開

診断テストの問9が×だった人はここ

式の一部をまとまりとして文字に置き換えて展開します。(a＋b＋3)(a＋b−3)はa＋b＝Mと置くと(M＋3)(M−3)＝M²−9。Mをもとの式にもどすときはM²＝(a＋b)²として展開します。3項の和の2乗は、各項の2乗と、2つずつの積の2倍を全部たします。

見直しのコツ置き換えをもどすときは、M²を(a＋b)²と書いてから展開する。

展開してからひく計算

診断テストの問10が×だった人はここ

公式の式から公式の式をひく問題は、ひく側を展開したあと、かっこをつけたまま全部の項の符号を変えます。(x＋3)²−(x＋2)(x−2)は、x²＋6x＋9−(x²−4)とかっこをつけて書きます。

見直しのコツひく式はかっこをつけたまま展開し、−()をはずすときに全部の項の符号を変える。

共通因数でくくる

診断テストの問11・問12が×だった人はここ

共通因数でくくるときは、各項に共通な数と文字を全部出します。6x²＋9xは3xでくくって3x(2x＋3)。くくった残りが1になる項は1を書き、先頭が負の項を負の数でくくると、かっこの中の符号が変わります。

見直しのコツくくったあと、かっこを展開してもとの式にもどるか確かめる。

因数分解①和と積

診断テストの問13・問14が×だった人はここ

x²＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)の逆です。積が定数項、和がxの係数になる2数a・bを見つけます。積が合う組が複数あるときは、和も確かめます。定数項が負のときは、2数の符号が異なります。

見直しのコツ見つけた2数の積と和の両方を確かめる。

因数分解②平方・和と差

診断テストの問15・問16が×だった人はここ

平方の公式と和と差の積の逆です。x²±2ax＋a²＝(x±a)²、x²−a²＝(x＋a)(x−a)。2項の差（x²−9）は和と差の積に、2項の和（x²＋9）は中学校の範囲では因数分解できません。4x²のように係数が平方数のときは(2x)²と考え、係数の平方根を使います。

見直しのコツ真ん中の項の符号と、2乗の中の数（係数も）を確かめる。

共通因数＋公式の因数分解

診断テストの問17が×だった人はここ

因数分解では、まず共通因数でくくり、そのあと公式が使えないか確かめます。2x²−8は2でくくって2(x²−4)、さらにx²−4＝(x＋2)(x−2)と分けて、2(x＋2)(x−2)まで分けます。

見直しのコツ最後に、かっこの中がまだ分けられないか・かっこの外に共通因数が残っていないか確かめる。

置き換え・まとまりの因数分解

診断テストの問18が×だった人はここ

同じ式がくり返し出る式は、まとまりをMと置いて因数分解し、あとでMをもとの式にもどします。(x＋1)²−5(x＋1)＋6はM²−5M＋6＝(M−2)(M−3)から(x−1)(x−2)。a²−(b＋1)²は、まとまりにかっこをつけて公式を使います。x(a−b)＋y(b−a)のように符号が逆の因数は、b−a＝−(a−b)としてそろえます。

見直しのコツ置き換えたら、最後にもとの式にもどして整理する（Mの答えのまま終わらない）。

式の計算の利用①計算の工夫

診断テストの問19が×だった人はここ

計算の工夫は、数を(100＋2)のような和や差の形に見て、乗法公式を使います。102×98＝(100＋2)(100−2)＝100²−2²＝9996。99²＝(100−1)²＝10000−200＋1＝9801。53²−47²＝(53＋47)(53−47)＝600のように、因数分解も使います。

見直しのコツ答えが、おおよその値（99²なら約10000）から大きくずれていないか確かめる。

式の計算の利用②式の値

診断テストの問20が×だった人はここ

式の値は、先に式を展開・因数分解して簡単にしてから数を代入すると、計算が楽でまちがいも少なくなります。x＝1/2，y＝−3のとき(x＋y)²−(x−y)²＝4xy＝4×(1/2)×(−3)＝−6。

見直しのコツ簡単にした式で求めた値と、もとの式に直接代入した値が同じか確かめる。

まとめテスト（定期テストの形・2枚・答えつき）

ヒントなしで、いろいろな間違えやすさが混ざったテストです。50点満点・25分。時間を計って解きましょう。答えの紙には、採点のめやすと考え方の途中の式、「×だったらここ」を書いています。

①で間違えたところを直してから②に取り組むと、伸びたかが分かります。

プリント名	問題PDF	問題＋答えPDF	印刷かご
まとめテスト①	問題	答えつき
まとめテスト②	問題	答えつき
2枚まとめ	問題2枚	答えつき4枚

学校のワークで間違えたら

学校のワークやテストで間違えた答えの形から、どこでつまずいたかと、やるところを探せます。

展開と因数分解は中3のどこで習う？つまずきやすい点と家庭での声かけ

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