中学3年の平方根の無料プリントです。まず診断テストで間違えやすいところを見つけ、そこだけを「ここで間違えやすいこと」で確かめて直し、最後に定期テストの形のまとめテストで仕上げます。診断テストもまとめテストも答えつきで、印刷かごに入れるとまとめて1つのPDFにできます。
診断テスト（2枚・答えつき）
伸びしろは、×の中にある。
間違えやすいところを1問ずつ集めた20問のテストです。答えの紙に、問題ごとに「よくある誤答」と「やるところ」を書いてあるので、苦手なところだけを選んで直せます。直したあと、1週間後にもう1つの診断テストBを解くと、苦手がなくなったかが分かります。
答えの紙には、問題ごとに「間違えやすいこと」と「やるところ」を書いています。
診断テストのあとにやること
- 1診断テストAを解く20問・20分。分からない問題は空らんのままでOK
- 2答え合わせをする×だった問題の番号に丸をつける
- 3下の表で行き先を見る×の番号から「やるところ」を探す
- 4そのところの「ここで間違えやすいこと」を読む✕の答え方と、○の正しい答え方を見比べる
- 5教科書やワークで同じ形を解き直す直したところを、自分の手でもう一度
- 61週間後に診断テストB×が消えたか確かめる
診断テストで×だった問題→やるところ
| 問題 | 間違えやすいこと | やるところ |
|---|---|---|
| 問1 | 正の平方根だけ | 平方根の意味へ |
| 問2 | 負の数の平方根がある | 平方根の意味へ |
| 問3 | √(−3)²の符号 | 根号をはずすへ |
| 問4 | (−√5)²の符号 | 根号をはずすへ |
| 問5 | 整数と√を中の数で比べる | 平方根の大小へ |
| 問6 | 負の数の大小が逆 | 平方根の大小へ |
| 問7 | 真の値の範囲の幅 | 近似値と有効数字へ |
| 問8 | √がつけば無理数 | 有理数と無理数へ |
| 問9 | 平方因数の出し残し | a√bの形にするへ |
| 問10 | √3×√3を√3 | 根号を含む乗除へ |
| 問11 | √の中をひき算 | 根号を含む乗除へ |
| 問12 | 分母だけにかける | 分母の有理化へ |
| 問13 | √の中を足す | 根号を含む加減へ |
| 問14 | √の中も足す | 根号を含む加減へ |
| 問15 | 有理化を飛ばしてまとめる | 加減に有理化がまざるへ |
| 問16 | 2乗をかっこの中に配る | 展開を使う計算へ |
| 問17 | √の中まで2乗 | 展開を使う計算へ |
| 問18 | 10倍で√も10倍 | √の近似値・整数部分と小数部分へ |
| 問19 | 小数部分を近似値で答える | √の近似値・整数部分と小数部分へ |
| 問20 | 素因数の一部だけそろえる | √nが整数になるnへ |
平方根の流れ
- 平方根の意味
- 根号をはずす
- 大小
- 近似値と有効数字
- 有理数と無理数
- a√bの形
- 乗除
- 分母の有理化
- 加減
- 展開を使う計算
- √の値の利用
平方根はどの教科書でもほぼこの順番で習います。下の小単元は、この順に並べています。
平方根の意味
診断テストの問1・問2が×だった人はここ
2乗してaになる数がaの平方根です。正の数の平方根は正と負の2つ、0の平方根は0、負の数の平方根はありません。√aは、そのうち正の方だけを表します。
ここで間違えやすいこと
- 正の平方根だけ✕9の平方根→3○正しい答え：±3なぜ間違えるか：「平方根」と「√a」を同じと思う
- 2でわる✕16の平方根→±8○正しい答え：±4なぜ間違えるか：平方根を「半分」と読む
- 負の数の平方根がある✕−9の平方根→±3○正しい答え：ないなぜ間違えるか：2乗すると負になる数があると思う
- √aに±をつける✕√25→±5○正しい答え：5なぜ間違えるか：√は正の方だけ、を落とす
見直しのコツ出した答えを2乗して、もとの数に戻るか確かめる。
根号をはずす
診断テストの問3・問4が×だった人はここ
√の中が何かの2乗のとき、根号をはずして値を出します。√(−3)²は中が9なので3、(−√5)²は2乗が√をうち消して5です。
ここで間違えやすいこと
- √(−3)²の符号✕√(−3)²→−3○正しい答え：3なぜ間違えるか：√と2乗が打ち消し合うとみて中身をそのまま出す
- √の前のマイナス✕−√49→7○正しい答え：−7なぜ間違えるか：−√49の−を√の中の話と思う
- (−√5)²の符号✕(−√5)²→−5○正しい答え：5なぜ間違えるか：2乗の範囲を√だけにする
- 小数の√で位をずらす✕√0.09→0.03、√0.4→0.2○正しい答え：0.3なぜ間違えるか：√0.09を0.0│3と位だけ移す・√0.4を0.2
見直しのコツ根号の中を先に計算してから、根号をはずす。−√49の−は√の外にある。
平方根の大小
診断テストの問5・問6が×だった人はここ
正の数どうしは、2乗して比べます。負の数どうしは、絶対値が大きいほど小さくなります。整数と√を比べるときは、整数も√の形に直します。
ここで間違えやすいこと
- 整数と√を中の数で比べる✕4と√15→√15が大きい○正しい答え：4=√16なので4>√15なぜ間違えるか：4と√15を「15>4」で比べる
- 負の数の大小が逆✕−√5と−2→−√5>−2○正しい答え：−√5<−2なぜ間違えるか：絶対値の大小をそのまま使う
- a√bを√の中で比べる✕2√3と3√2→2√3が大きい○正しい答え：2√3=√12<√18=3√2なぜ間違えるか：係数を無視して根号の中だけ見る
- √の範囲の端✕3<√a<4の整数a→8個○正しい答え：10〜15の6個なぜ間違えるか：3<√a<4を9≦a≦16にする
見直しのコツ整数を√の形に直す（4＝√16）。負の数の大小は、数直線で左ほど小さいと考える。
近似値と有効数字
診断テストの問7が×だった人はここ
測った値は、四捨五入した近似値です。誤差は「近似値−真の値」、真の値の範囲は四捨五入した位の次の位で決まります。有効数字はa×10ⁿ（aは整数部分が1けた）で表します。
ここで間違えやすいこと
- 誤差の向き✕真の値2.47を2.5とした誤差→−0.03○正しい答え：+0.03なぜ間違えるか：誤差＝近似値−真の値、を逆にする
- 真の値の範囲の幅✕四捨五入で3.4→3.3≦a<3.5○正しい答え：3.35≦a<3.45なぜ間違えるか：四捨五入の範囲を次の位で取らない
- a×10ⁿのaが1けたでない✕有効数字3けたの23400→234×10²○正しい答え：2.34×10⁴なぜ間違えるか：「整数部分1けた」の約束を落とす
- 0が有効数字か✕0.0520→有効数字2けた、1500（3けた）→1.5×10³○正しい答え：3けたなぜ間違えるか：末尾の0・先頭の0の区別
見直しのコツ真の値の範囲は、四捨五入した位の半分だけ上下に広げた範囲（以上・未満）で考える。
有理数と無理数
診断テストの問8が×だった人はここ
分数で表せる数が有理数、表せない数が無理数です。√がついていても、中が平方数なら有理数になります。循環小数は有理数です。
ここで間違えやすいこと
- √がつけば無理数✕√16→無理数、√(4/9)→無理数○正しい答え：有理数4なぜ間違えるか：√の中が平方数なら整数になる、を見ない
- 終わらない小数は無理数✕1/3=0.333…→無理数○正しい答え：有理数なぜ間違えるか：循環小数を無理数とする
- 近似値と円周率の混同✕3.14→無理数○正しい答え：有理数157/50。πは無理数なぜ間違えるか：3.14をπと同じに扱う
見直しのコツ「分数で表せるか」で決める。√の中が平方数（または平方数の分数）なら有理数。
a√bの形にする
診断テストの問9が×だった人はここ
√の中の数を素因数分解して、2つ組になった数を外に出します。√72＝√(2²×3²×2)＝6√2のように、√の中に平方数が残らない形にします。逆にa√bを√の中に入れるときは、aを2乗して入れます。
ここで間違えやすいこと
- 平方因数の出し残し✕√72→2√18○正しい答え：6√2なぜ間違えるか：最大の平方数でなく4だけ出す
- 平方数でなく約数で出す✕√12→2√6○正しい答え：2√3なぜ間違えるか：12=2×6の2を外へ出す
- 根号の中へ入れるとき2乗しない✕3√2→√6○正しい答え：√18なぜ間違えるか：3√2の3をそのままかける
見直しのコツ√の中を素因数分解して、同じ数が2つ組になるところだけを外に出す。
根号を含む乗除
診断テストの問10・問11が×だった人はここ
√a×√b＝√(ab)、√a÷√b＝√(a÷b)を使います。同じ√をかけると√がなくなります（√3×√3＝3）。答えは根号の中に平方数が残らない形にします。
ここで間違えやすいこと
- √3×√3を√3✕2√3×4√3→8√3○正しい答え：24なぜ間違えるか：同じ√の積を文字の積（x×x）と取り違える／√が残ると思う
- √の中をひき算✕6√6÷2√3→3√3○正しい答え：3√2なぜ間違えるか：√6÷√3を√(6−3)
見直しのコツ係数どうし・√の中どうしを分けて計算し、最後に簡単な形に直す。
分母の有理化
診断テストの問12が×だった人はここ
分母に√があるときは、分母と分子に同じ√をかけて、分母から√をなくします。そのあと約分できるときは約分します。a√bが分母のときは、aを消さないように注意します。
ここで間違えやすいこと
- 分母だけにかける✕3/√2→3/2○正しい答え：3√2/2なぜ間違えるか：分子に同じ√をかけない
- 約分の止め忘れ✕6/√3→6√3/3○正しい答え：2√3なぜ間違えるか：有理化で終わる
- √の中の数と外の数で約分✕4/√6→4√6/6→4○正しい答え：2√6/3なぜ間違えるか：4√6/6の6どうしを消す
- 係数つき分母の係数落ち✕5/(2√3)→5√3/3○正しい答え：5√3/6なぜ間違えるか：2√3の2を有理化で消す
見直しのコツ分母と分子の両方に同じ√をかけたか、最後に約分したかを確かめる。
根号を含む加減
診断テストの問13・問14が×だった人はここ
同じ√どうしだけを、文字の式の同類項と同じようにまとめます（2√3＋4√3＝6√3）。√の中が違うときは、先に簡単な形に直して、同じ√になるか確かめます。
ここで間違えやすいこと
- √の中を足す✕√2+√3→√5○正しい答え：これ以上計算できないなぜ間違えるか：√a×√b=√abを足し算にも使う
- √の中も足す✕2√3+4√3→6√6○正しい答え：6√3なぜ間違えるか：係数と√の中の両方を足す
- 簡単にしないと同類に見えない✕√12+√27→√39や「計算できない」○正しい答え：5√3なぜ間違えるか：√12と√27を別の√とみてそのまま
- 整数と√の項をまとめる✕3+2√5→5√5○正しい答え：3+2√5のままなぜ間違えるか：3+2√5を5√5
見直しのコツ√の中は足さない。√の中をそろえてから、係数だけを足し引きする。
加減に有理化がまざる
診断テストの問15が×だった人はここ
分母に√がある項をふくむ加減では、先に有理化してから簡単な形に直し、最後に同じ√の項をまとめます。順番は「有理化→簡単にする→まとめる」です。
ここで間違えやすいこと
- 有理化を飛ばしてまとめる✕√8−2/√2→2√2−2√2=0○正しい答え：√2なぜ間違えるか：2/√2を2√2と書き換える
見直しのコツ分母に√がある項を先に有理化してから、同じ√の項を探す。
展開を使う計算
診断テストの問16・問17が×だった人はここ
(a＋b)²や(a＋b)(a−b)などの乗法公式に、√を含む数を入れます。(√a)²＝a、(2√3)²＝4×3＝12のように、係数も2乗します。
ここで間違えやすいこと
- 2乗をかっこの中に配る✕(√3+1)²→3+1=4○正しい答え：4+2√3なぜ間違えるか：(a+b)²をa²+b²
- √の中まで2乗✕(√5+√2)(√5−√2)→25−4=21○正しい答え：3なぜ間違えるか：(√5)²を5²とする
- 係数を2乗しない✕(2√3)²→6○正しい答え：12なぜ間違えるか：(2√3)²を2×3
- 分配の後の簡単にし忘れ✕2√3(√6−√2)→2√18−2√6○正しい答え：6√2−2√6なぜ間違えるか：2√3×√6を2√18のまま
見直しのコツ公式に入れる前に、aとbにあたるものを丸で囲む。答えは簡単な形に直す。
√の近似値・整数部分と小数部分
診断テストの問18・問19が×だった人はここ
√の近似値が与えられているとき、√の中を変形して別の√の値を求めます。√aの整数部分は2乗で整数ではさんで決め、小数部分は「もとの数−整数部分」で表します（√7＝2＋(√7−2)）。
ここで間違えやすいこと
- 10倍で√も10倍✕√2≈1.414から√20→14.14○正しい答え：√20=2√5≈4.472。14.14は√200なぜ間違えるか：√の中が100倍で値が10倍、を10倍でも使う
- 小数部分を近似値で答える✕√7の小数部分→0.64○正しい答え：√7−2なぜ間違えるか：小数部分＝もとの数−整数部分、を使わない
見直しのコツ√の中を「近似値が分かっている√の何倍」の形に直す。小数部分は答えを式で書く。
√nが整数になるn
診断テストの問20が×だった人はここ
√(24n)が整数になる最小のnは、24を素因数分解（2³×3）して、すべての素因数が偶数個になるようにかけて求めます。足りない素因数を全部そろえます。
ここで間違えやすいこと
- 素因数の一部だけそろえる✕√(24n)が整数の最小n→2○正しい答え：6。√48=4√3は整数でないなぜ間違えるか：24=2³×3の2だけ偶数乗にする
見直しのコツ素因数分解して、指数が奇数の素因数だけをかける。
まとめテスト（定期テストの形・2枚・答えつき）
ヒントなしで、いろいろな間違えやすさが混ざったテストです。50点満点・25分。時間を計って解きましょう。答えの紙には、採点のめやすと考え方の途中の式、「×だったらここ」を書いています。
①で間違えたところを直してから②に取り組むと、伸びたかが分かります。
学校のワークで間違えたら
学校のワークやテストで間違えた答えの形から、どこでつまずいたかと、やるところを探せます。
| こう間違えた | つまずき | やるところ |
|---|---|---|
| 9の平方根→3 | 正の平方根だけ | 平方根の意味 |
| 16の平方根→±8 | 2でわる | 平方根の意味 |
| −9の平方根→±3 | 負の数の平方根がある | 平方根の意味 |
| √25→±5 | √aに±をつける | 平方根の意味 |
| √(−3)²→−3 | √(−3)²の符号 | 根号をはずす |
| −√49→7 | √の前のマイナス | 根号をはずす |
| (−√5)²→−5 | (−√5)²の符号 | 根号をはずす |
| √0.09→0.03、√0.4→0.2 | 小数の√で位をずらす | 根号をはずす |
| 4と√15→√15が大きい | 整数と√を中の数で比べる | 平方根の大小 |
| −√5と−2→−√5>−2 | 負の数の大小が逆 | 平方根の大小 |
| 2√3と3√2→2√3が大きい | a√bを√の中で比べる | 平方根の大小 |
| 3<√a<4の整数a→8個 | √の範囲の端 | 平方根の大小 |
| 真の値2.47を2.5とした誤差→−0.03 | 誤差の向き | 近似値と有効数字 |
| 四捨五入で3.4→3.3≦a<3.5 | 真の値の範囲の幅 | 近似値と有効数字 |
| 有効数字3けたの23400→234×10² | a×10ⁿのaが1けたでない | 近似値と有効数字 |
| 0.0520→有効数字2けた、1500（3けた）→1.5×10³ | 0が有効数字か | 近似値と有効数字 |
| √16→無理数、√(4/9)→無理数 | √がつけば無理数 | 有理数と無理数 |
| 1/3=0.333…→無理数 | 終わらない小数は無理数 | 有理数と無理数 |
| 3.14→無理数 | 近似値と円周率の混同 | 有理数と無理数 |
| 2√3×4√3→8√3 | √3×√3を√3 | 根号を含む乗除 |
| √72→2√18 | 平方因数の出し残し | a√bの形にする |
| √12→2√6 | 平方数でなく約数で出す | a√bの形にする |
| 3√2→√6 | 根号の中へ入れるとき2乗しない | a√bの形にする |
| 6√6÷2√3→3√3 | √の中をひき算 | 根号を含む乗除 |
| 3/√2→3/2 | 分母だけにかける | 分母の有理化 |
| 6/√3→6√3/3 | 約分の止め忘れ | 分母の有理化 |
| 4/√6→4√6/6→4 | √の中の数と外の数で約分 | 分母の有理化 |
| 5/(2√3)→5√3/3 | 係数つき分母の係数落ち | 分母の有理化 |
| √2+√3→√5 | √の中を足す | 根号を含む加減 |
| 2√3+4√3→6√6 | √の中も足す | 根号を含む加減 |
| √12+√27→√39や「計算できない」 | 簡単にしないと同類に見えない | 根号を含む加減 |
| √8−2/√2→2√2−2√2=0 | 有理化を飛ばしてまとめる | 加減に有理化がまざる |
| 3+2√5→5√5 | 整数と√の項をまとめる | 根号を含む加減 |
| (√3+1)²→3+1=4 | 2乗をかっこの中に配る | 展開を使う計算 |
| (√5+√2)(√5−√2)→25−4=21 | √の中まで2乗 | 展開を使う計算 |
| (2√3)²→6 | 係数を2乗しない | 展開を使う計算 |
| 2√3(√6−√2)→2√18−2√6 | 分配の後の簡単にし忘れ | 展開を使う計算 |
| √2≈1.414から√20→14.14 | 10倍で√も10倍 | √の近似値・整数部分と小数部分 |
| √7の小数部分→0.64 | 小数部分を近似値で答える | √の近似値・整数部分と小数部分 |
| √(24n)が整数の最小n→2 | 素因数の一部だけそろえる | √nが整数になるn |
平方根は中3のどこで習う？つまずきやすい点と家庭での声かけ
平方根は、中学校学習指導要領解説数学編では第3学年の「A数と式」で学ぶ内容です。数の平方根の意味、平方根を含む式の計算、近似値と誤差・a×10ⁿの表し方が同じ領域にあり、平方根の考えは二次方程式を解く方法にも使われます。このページの診断テストとまとめテストは、この単元で間違えやすい点を、誤答の形から集めたものです。
| 学年 | 学校で学ぶこと | つながる先 |
|---|---|---|
| 中1 | 正の数と負の数（累乗・大小）、素因数分解 | 根号の中を簡単にするときの土台 |
| 中2 | 式の計算、連立二元一次方程式 | 文字式の計算の考え方を、根号を含む式へ広げる |
| 中3（この単元） | 数の平方根、平方根を含む式の計算、近似値と誤差 | 二次方程式、三平方の定理で√を使った答えを書く |
| 高校数学Ⅰ | 実数、分母がa＋√bの有理化、二重根号 | 高校の数と式へ |
2乗とマイナスの範囲
√(−3)²を−3としていたら、2乗と√が打ち消し合うと考えて中身をそのまま出しています。(−3)²を先に計算すると9で、√9は3です。
√の中を足す
√2＋√3を√5としていたら、√a×√b＝√abの規則を足し算にも使っています。足し算は同じ√どうしだけをまとめます。
有理化で分子を忘れる
3/√2を3/2としていたら、分母にだけ√2をかけたため、値が変わっています。分母と分子の両方に同じ√をかけます。
家庭でできること診断テストAで×だった番号を数え、×が多い小単元の「ここで間違えやすいこと」を声に出して読むと、どこで考え違いをしたかを本人が説明できます。直したあと、1週間おいて診断テストBを解くと、直ったかどうかが分かります。
この記事で参考にした資料
- 中学校学習指導要領（平成29年告示）解説数学編（文部科学省・平成29年7月・PDF）…第3学年「A数と式」の位置づけ、近似値と誤差・a×10ⁿの扱いの確認に使いました
リンク先はいずれも公的機関・学術データベースの資料です（最終確認2026年10月11日）。
よくある質問
1日に何枚やればいいですか？
1日1枚（10〜15分）が目安です。テスト前は診断テストで×だったところを1日2つまでにして、残りの時間を見直しに使ってください。
√の中は、いつまで簡単にしますか？
√の中に平方数（4・9・16…）が残らなくなるまでです。たとえば√72は6√2まで直します。
教科書が違っても使えますか？
使えます。平方根はどの教科書でもほぼ同じ順番で習います。
診断テストが全部○でした。
まとめテストに進んでください。
分母に√が残っていてもよいですか？
ふつうは、分母に√を残さない形（有理化した形）で答えます。診断テストもまとめテストも、この決まりで採点します。