平方完成計算機｜二次関数の頂点・軸・最大最小を途中式つきで求める無料の計算サイト

二次式を入れるだけで、平方完成した形a(x−p)²+qと、頂点・軸・最大値か最小値が出る無料の計算サイトです。答えだけでなく、「xの係数の半分の2乗を足して引く」といった途中式を1段ずつ見せます。x²の係数が1でない式や、分数・小数の係数にも対応しています。数学Ⅰの二次関数の宿題の答え合わせや、解き方の確認に使ってください。

平方完成計算機の使い方

1. 式を入れる：入力欄に二次式を入れます（例：y=2x^2-8x+3）。「y=」「f(x)=」はつけても、つけなくてもかまいません。かっこ、分数（x^2/2）、小数（0.5x^2）、全角の数字も読みとります。スマホでは、画面のキーパッドでも入力できます。
2. a・b・cで入れる：入力欄の上の「a・b・cで入れる」を押すと、y=ax²+bx+cの3つの数を別々に入れる画面になります。整数・分数（1/2）・小数（0.5）が入れられます。bとcは空らんなら0として計算します。aが空らんのときは、入れるようにうながす表示が出ます。
3. 「平方完成する」を押す（Enterキーでも実行できます）：答えのa(x−p)²+qの形と、頂点・軸・グラフの向き・最小値か最大値・y軸との交点・x軸との共有点の数（判別式Dの値つき）が出ます。
4. 途中式を見る：答えの下に、手順が1段ずつ並びます。xの項がある式（b≠0）では、x²の係数が1なら2〜3段、1でなければ4〜5段です。xの項がない式は1段です。どの場合も、最後に「展開して、もとの式にもどるか」の検算がつきます。
5. 例題を使う：「基本」「aが1でない」「aがマイナス」「bが奇数」「分数の係数」などのボタンを押すと、式が自動で入って答えが出ます。
6. ヒントモード：スイッチをオンにすると、答えがかくれて最初の段だけが出ます。「つぎのヒント」で1段ずつ進め、「答えを見る」で答えと検算が出ます。自分で解いたあとの答え合わせに使えます。
7. リンクをコピー：入れた式がそのまま開くリンクをコピーできます。リンクを開くと答えもすぐ表示されるので、問題だけを見せたいときは使わないでください。ヒントモードの状態はリンクに入らず、開くと通常の表示になります。

入れられるのは、xの二次式（x²の項がある式）です。文字はxだけで、係数の分子と分母は10億以下にしてください。1次式、3次以上の式、「＝0」の方程式は、答えを出さずに理由を表示します。方程式の解を求めたいときは、二次方程式の計算機を使ってください。グラフの描画と、練習問題の機能はありません。

平方完成とは？ax²+bx+cをa(x−p)²+qの形にすること

平方完成とは、二次式ax²+bx+cを、a(x−p)²+qの形に変形することです。(□)²の中にxが1回だけ出てくる形になるので、二次関数のグラフの頂点がすぐ読みとれます。

形	頂点	軸	最小値・最大値
y=a(x−p)²+q	（p，q）	直線x=p	a>0なら、x=pのとき最小値q　／　a<0なら、x=pのとき最大値q

軸は、グラフが左右対称になる中心の直線です。下に凸は、谷の形（U字）のグラフ、上に凸は、山の形のグラフです。共有点は、グラフとx軸が交わる点のことです。

(x−p)²のpの符号に注意します。y=(x+3)²−4のかっこの中は「x+3」で、これはx−(−3)と書けるので、pは−3です。頂点は（−3，−4）になります。

平方完成のやり方（x²の係数が1のとき）

1. xの係数6の半分は3で、その2乗は9です。この9を、足して引きます。y=x²+6x+9−9+5
2. 最初の3項（x²+6x+9）を、(x+3)²にまとめます。y=(x+3)²−9+5
3. 数の項をまとめます。−9+5=−4なので、y=(x+3)²−4

答えはy=(x+3)²−4で、頂点は（−3，−4）、軸はx=−3です。a=1>0なので、x=−3のとき最小値−4です。

「同じ数を足して引く」ので、式の値は変わりません。足した9で(x+3)²という「2乗の形」を作り、引いた9は数の項にまわす、というのが平方完成の考え方です。

なぜ「半分の2乗」を足すのかは、(x+3)²を展開するとわかります。(x+3)²=x²+6x+9で、xの係数6は、3の2倍です。逆に、xの係数6の半分の3を使えば(x+3)²の形が作れ、そのとき足りない数が、3の2乗の9です。同じように、y=x²−4x+7では、半分は−2なので(x−2)²になります（かっこの中の符号は、半分の符号と同じです）。

答えの検算：かっこをはずして、もとの式にもどるか

y=(x+3)²−4のかっこをはずすと、x²+6x+9−4=x²+6x+5で、もとの式にもどります。計算機の途中式の最後にも、同じ検算を表示します。

1. xの係数−4の半分は−2で、その2乗は4です。y=x²−4x+4−4+7
2. 最初の3項を(x−2)²にまとめます。y=(x−2)²−4+7
3. 数の項をまとめて、y=(x−2)²+3

頂点は（2，3）です。a>0で下に凸のグラフなので、最小値は3です。頂点のy座標が0より大きく、下に凸なので、グラフはx軸と交わりません。

x²の係数が1でないとき：先にくくる

x²の係数が1でないときは、まずx²の項とxの項を、x²の係数でくくります。数の項（定数項）はくくらずに、そのまま残します。そのあとは、かっこの中を、x²の係数が1のときと同じように変形します。数の項までくくっても答えは同じですが、分数がふえるので、この記事ではくくりません。

1. x²とxの項を2でくくります。y=2(x²−4x)+3
2. かっこの中のxの係数−4の半分は−2で、その2乗は4です。かっこの中で、4を足して引きます。y=2(x²−4x+4−4)+3
3. かっこの中の最初の3項を(x−2)²にまとめます。y=2{(x−2)²−4}+3
4. −4をかっこの外に出します。{}の外には2がかかっているので、分配法則で2×(−4)=−8になります。y=2(x−2)²−8+3
5. 数の項をまとめて、y=2(x−2)²−5

答えはy=2(x−2)²−5で、頂点は（2，−5）、軸はx=2、最小値は−5です。

途中式の4番目の、「かっこの外に出すときにaをかける」ところは、忘れやすい部分です。計算機でも、この段の説明に注意を書いています。なお、{}は、かっこの中をまとめて扱う、大きいほうのかっこです。

公式で確かめる：p=−b/(2a)、q=−(b²−4ac)/(4a)

y=ax²+bx+cの頂点は、公式でも求められます。p=−b/(2a)、q=−(b²−4ac)/(4a)です。y=2x²−8x+3ならa=2、b=−8、c=3で、p=8/4=2、b²−4ac=64−24=40なので、q=−40/8=−5です。平方完成の答え（2，−5）と一致します。

1. x²とxの項を−1でくくります。y=−(x²−4x)+1
2. かっこの中で、(−4÷2)²=4を足して引きます。y=−(x²−4x+4−4)+1
3. 最初の3項を(x−2)²にまとめます。y=−{(x−2)²−4}+1
4. −4をかっこの外に出します。−1をかけるので、符号が変わって+4です。y=−(x−2)²+4+1
5. 数の項をまとめて、y=−(x−2)²+5

aが−1なので、上に凸のグラフです。頂点は（2，5）で、x=2のとき最大値5になります。

係数が分数になるとき

かっこの中のxの係数が奇数だと、半分が分数になります。分数のまま計算します。

1. xの係数3の半分は3/2で、その2乗は9/4です。y=x²+3x+9/4−9/4+1
2. 最初の3項を(x+3/2)²にまとめます。y=(x+3/2)²−9/4+1
3. −9/4+1=−5/4なので、y=(x+3/2)²−5/4

頂点は（−3/2，−5/4）です。

1. x²とxの項を1/2でくくります。かっこの中のxの係数は、−3÷(1/2)=−6です。y=(1/2)(x²−6x)+1
2. −6の半分−3の2乗9を、かっこの中で足して引きます。y=(1/2)(x²−6x+9−9)+1
3. 最初の3項を(x−3)²にまとめます。y=(1/2){(x−3)²−9}+1
4. −9をかっこの外に出します。(1/2)をかけて−9/2です。y=(1/2)(x−3)²−9/2+1
5. 数の項をまとめて、y=1/2(x−3)²−7/2

頂点は（3，−7/2）です。計算機には、分数（x^2/2）も小数（0.5x^2）も、そのまま入れられます。

xの項や数の項がないとき

• xの項がない（b=0）：y=3x²−5は、すでに平方完成の形です。かっこの中がxのまま（p=0）と考えて、頂点は（0，−5）、軸はy軸（x=0）です。
• 数の項がない（c=0）：y=−2x²+8xは、−2でくくって、y=−2(x²−4x)。かっこの中で4を足して引き、y=−2{(x−2)²−4}となります。−4をかっこの外に出すと−4×(−2)=+8で、答えはy=−2(x−2)²+8です。数の項をまとめる段はありません。頂点は（2，8）で、最大値は8です。

頂点・軸・最大値最小値の読みとり方

見るところ	読みとること
かっこの中（x−p）	pが頂点のx座標。(x+3)²ならp=−3
かっこの外の数q	頂点のy座標。最大値か最小値になる
x²の係数a	a>0なら下に凸（最小値だけがある）、a<0なら上に凸（最大値だけがある）
y軸との交点	x=0を代入して、（0，c）。cはもとの式の数の項
x軸との共有点	判別式D=b²−4acで決まる。D>0なら2個、D=0なら1個（接する）、D<0ならなし

a>0のときは最大値がなく、a<0のときは最小値がありません。判別式Dは、y=ax²+bx+c（a≠0）のグラフについての値です。

たとえばy=x²+6x+5は、D=36−20=16>0なので、x軸と2か所で交わります（x=−1、−5）。y=x²−4x+7は、D=16−28=−12<0で、x軸と交わりません。頂点（2，3）がx軸より上にあり、下に凸だからです。

平方完成が使われる場面

• 二次関数のグラフ：頂点と軸が読みとれるので、グラフがかけます。最大値・最小値を求める問題でも使います。
• 二次方程式を解く：x²+6x+5=0は、平方完成して(x+3)²=4とし、x+3=±2から、x=−1、−5と求められます。この変形を文字のまま行って導いたのが、解の公式です。
• 式の変形：二次式をa(x−p)²+qの形にそろえると、頂点や最大値・最小値が式から直接読みとれます。

平方完成は式を変形するだけで、解は出ません。式に「＝0」をつけた方程式を、平方完成を使って解くことはできます。方程式の解を、途中式つきで求めたいときは、二次方程式の計算機の「平方完成」を選びます。二次方程式計算機は、ax²+bx+c=0の形の方程式を、因数分解・解の公式・平方完成のどれでも解けます。

よくある間違い

• (x+3)²のpを3にしてしまう：かっこの中がx+3なら、pは−3です。頂点は（−3，−4）で、（3，−4）ではありません。
• かっこの外に出すときにaをかけ忘れる：y=2x²−8x+3で、−4をそのまま外に出してy=2(x−2)²−4+3=2(x−2)²−1とするのは間違いです。−4に2をかけて−8にして、y=2(x−2)²−5です。
• 足すだけで、引くのを忘れる：x²+6x+9+5は、もとのx²+6x+5とちがう式です。足した9は、必ず引きます。
• xの係数そのものを2乗する：足す数は、xの係数の半分の2乗です。x²+6x+36では、(x+3)²になりません。

平方完成計算機のよくある質問

平方完成のやり方を、かんたんに教えてください。

①x²の係数が1でなければ、x²とxの項をくくる。②かっこの中で、xの係数の半分の2乗を足して引く。③かっこの中の最初の3項を(x+□)²にまとめる。④かっこの外に出す数に、くくった数をかける。⑤数の項をまとめる。以上で、a(x−p)²+qの形になります。計算機に式を入れると、この順番に1段ずつ表示します。

頂点は、平方完成しなくても求められますか？

求められます。y=ax²+bx+cの頂点は、x座標がp=−b/(2a)、y座標がq=−(b²−4ac)/(4a)です。この公式は、平方完成を文字のまま行った結果です。公式で出した頂点を、平方完成の答えで確かめると、計算ミスを見つけられます。

x²の係数が1でないときは、どうしますか？

まず、x²の項とxの項をx²の係数でくくります。数の項はそのまま残します。そのあと、かっこの中を、x²の係数が1のときと同じように変形します。かっこの外に出すときに、くくった数をかけ忘れないように注意してください。

分数や小数の係数も入れられますか？

入れられます。「x^2/2」のような分数、「0.5x^2」のような小数、「(1/2)x^2」のようにかっこをつけた書き方も読みとります。計算は分数で正確に行うので、小数の誤差は出ません。

「x²+6x+5=0」のような方程式は入れられますか？

この計算機は、二次式を平方完成する計算機なので、「＝0」の方程式は答えを出さずに、二次方程式の計算機を案内します。方程式の解は、二次方程式計算機の「平方完成」を選ぶと、途中式つきで求められます。

グラフは表示されますか？

グラフの描画はありません。かわりに、頂点・軸・グラフの向き（上に凸か下に凸か）・y軸との交点・x軸との共有点の数が出るので、これらを使うと、グラフの形をかけます。

判別式とは何ですか？

二次式ax²+bx+c（a≠0）のD=b²−4acのことです。y=ax²+bx+cのグラフが、x軸と何か所で交わるかを決めます。D>0なら2か所、D=0なら1か所（x軸に接する）、D<0なら交わりません。計算機では、この判別式の値も表示します。

何学年で習いますか？

平方完成は、高校の数学Ⅰ（二次関数）で習います。中学3年の二次方程式で習う、(x+m)²=nの形にして解く方法（平方根の考え方）と、同じ発想の式変形です。

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