平方完成計算機｜二次関数の頂点・軸・最大最小を途中式つきで求める無料の計算サイト
二次式を入れるだけで、平方完成した形a(x−p)²+qと、頂点・軸・最大値か最小値が出る無料の計算サイトです。答えだけでなく、「xの係数の半分の2乗を足して引く」といった途中式を1段ずつ見せます。x²の係数が1でない式や、分数・小数の係数にも対応しています。数学Ⅰの二次関数の宿題の答え合わせや、解き方の確認に使ってください。
目次
平方完成計算機の使い方
- 式を入れる：入力欄に二次式を入れます（例：y=2x^2-8x+3）。「y=」「f(x)=」はつけても、つけなくてもかまいません。かっこ、分数（x^2/2）、小数（0.5x^2）、全角の数字も読みとります。スマホでは、画面のキーパッドでも入力できます。
- a・b・cで入れる：入力欄の上の「a・b・cで入れる」を押すと、y=ax²+bx+cの3つの数を別々に入れる画面になります。整数・分数（1/2）・小数（0.5）が入れられます。bとcは空らんなら0として計算します。aが空らんのときは、入れるようにうながす表示が出ます。
- 「平方完成する」を押す（Enterキーでも実行できます）：答えのa(x−p)²+qの形と、頂点・軸・グラフの向き・最小値か最大値・y軸との交点・x軸との共有点の数（判別式Dの値つき）が出ます。
- 途中式を見る：答えの下に、手順が1段ずつ並びます。xの項がある式（b≠0）では、x²の係数が1なら2〜3段、1でなければ4〜5段です。xの項がない式は1段です。どの場合も、最後に「展開して、もとの式にもどるか」の検算がつきます。
- 例題を使う：「基本」「aが1でない」「aがマイナス」「bが奇数」「分数の係数」などのボタンを押すと、式が自動で入って答えが出ます。
- ヒントモード：スイッチをオンにすると、答えがかくれて最初の段だけが出ます。「つぎのヒント」で1段ずつ進め、「答えを見る」で答えと検算が出ます。自分で解いたあとの答え合わせに使えます。
- リンクをコピー：入れた式がそのまま開くリンクをコピーできます。リンクを開くと答えもすぐ表示されるので、問題だけを見せたいときは使わないでください。ヒントモードの状態はリンクに入らず、開くと通常の表示になります。
入れられるのは、xの二次式（x²の項がある式）です。文字はxだけで、係数の分子と分母は10億以下にしてください。1次式、3次以上の式、「＝0」の方程式は、答えを出さずに理由を表示します。方程式の解を求めたいときは、二次方程式の計算機を使ってください。グラフの描画と、練習問題の機能はありません。
平方完成とは？ax²+bx+cをa(x−p)²+qの形にすること
平方完成とは、二次式ax²+bx+cを、a(x−p)²+qの形に変形することです。(□)²の中にxが1回だけ出てくる形になるので、二次関数のグラフの頂点がすぐ読みとれます。
| 形 | 頂点 | 軸 | 最小値・最大値 |
|---|---|---|---|
| y=a(x−p)²+q | （p，q） | 直線x=p | a>0なら、x=pのとき最小値q ／ a<0なら、x=pのとき最大値q |
軸は、グラフが左右対称になる中心の直線です。下に凸は、谷の形（U字）のグラフ、上に凸は、山の形のグラフです。共有点は、グラフとx軸が交わる点のことです。
(x−p)²のpの符号に注意します。y=(x+3)²−4のかっこの中は「x+3」で、これはx−(−3)と書けるので、pは−3です。頂点は（−3，−4）になります。
平方完成のやり方（x²の係数が1のとき）
y=x²+6x+5を平方完成する
- xの係数6の半分は3で、その2乗は9です。この9を、足して引きます。y=x²+6x+9−9+5
- 最初の3項（x²+6x+9）を、(x+3)²にまとめます。y=(x+3)²−9+5
- 数の項をまとめます。−9+5=−4なので、y=(x+3)²−4
答えはy=(x+3)²−4で、頂点は（−3，−4）、軸はx=−3です。a=1>0なので、x=−3のとき最小値−4です。
「同じ数を足して引く」ので、式の値は変わりません。足した9で(x+3)²という「2乗の形」を作り、引いた9は数の項にまわす、というのが平方完成の考え方です。
なぜ「半分の2乗」を足すのかは、(x+3)²を展開するとわかります。(x+3)²=x²+6x+9で、xの係数6は、3の2倍です。逆に、xの係数6の半分の3を使えば(x+3)²の形が作れ、そのとき足りない数が、3の2乗の9です。同じように、y=x²−4x+7では、半分は−2なので(x−2)²になります（かっこの中の符号は、半分の符号と同じです）。
答えの検算：かっこをはずして、もとの式にもどるか
y=(x+3)²−4のかっこをはずすと、x²+6x+9−4=x²+6x+5で、もとの式にもどります。計算機の途中式の最後にも、同じ検算を表示します。
y=x²−4x+7を平方完成する
- xの係数−4の半分は−2で、その2乗は4です。y=x²−4x+4−4+7
- 最初の3項を(x−2)²にまとめます。y=(x−2)²−4+7
- 数の項をまとめて、y=(x−2)²+3
頂点は（2，3）です。a>0で下に凸のグラフなので、最小値は3です。頂点のy座標が0より大きく、下に凸なので、グラフはx軸と交わりません。
x²の係数が1でないとき：先にくくる
x²の係数が1でないときは、まずx²の項とxの項を、x²の係数でくくります。数の項（定数項）はくくらずに、そのまま残します。そのあとは、かっこの中を、x²の係数が1のときと同じように変形します。数の項までくくっても答えは同じですが、分数がふえるので、この記事ではくくりません。
y=2x²−8x+3を平方完成する
- x²とxの項を2でくくります。y=2(x²−4x)+3
- かっこの中のxの係数−4の半分は−2で、その2乗は4です。かっこの中で、4を足して引きます。y=2(x²−4x+4−4)+3
- かっこの中の最初の3項を(x−2)²にまとめます。y=2{(x−2)²−4}+3
- −4をかっこの外に出します。{}の外には2がかかっているので、分配法則で2×(−4)=−8になります。y=2(x−2)²−8+3
- 数の項をまとめて、y=2(x−2)²−5
答えはy=2(x−2)²−5で、頂点は（2，−5）、軸はx=2、最小値は−5です。
途中式の4番目の、「かっこの外に出すときにaをかける」ところは、忘れやすい部分です。計算機でも、この段の説明に注意を書いています。なお、{}は、かっこの中をまとめて扱う、大きいほうのかっこです。
公式で確かめる：p=−b/(2a)、q=−(b²−4ac)/(4a)
y=ax²+bx+cの頂点は、公式でも求められます。p=−b/(2a)、q=−(b²−4ac)/(4a)です。y=2x²−8x+3ならa=2、b=−8、c=3で、p=8/4=2、b²−4ac=64−24=40なので、q=−40/8=−5です。平方完成の答え（2，−5）と一致します。
y=−x²+4x+1を平方完成する（aがマイナスのとき）
- x²とxの項を−1でくくります。y=−(x²−4x)+1
- かっこの中で、(−4÷2)²=4を足して引きます。y=−(x²−4x+4−4)+1
- 最初の3項を(x−2)²にまとめます。y=−{(x−2)²−4}+1
- −4をかっこの外に出します。−1をかけるので、符号が変わって+4です。y=−(x−2)²+4+1
- 数の項をまとめて、y=−(x−2)²+5
aが−1なので、上に凸のグラフです。頂点は（2，5）で、x=2のとき最大値5になります。
係数が分数になるとき
かっこの中のxの係数が奇数だと、半分が分数になります。分数のまま計算します。
y=x²+3x+1を平方完成する
- xの係数3の半分は3/2で、その2乗は9/4です。y=x²+3x+9/4−9/4+1
- 最初の3項を(x+3/2)²にまとめます。y=(x+3/2)²−9/4+1
- −9/4+1=−5/4なので、y=(x+3/2)²−5/4
頂点は（−3/2，−5/4）です。
y=x²/2−3x+1を平方完成する（係数が分数のとき）
- x²とxの項を1/2でくくります。かっこの中のxの係数は、−3÷(1/2)=−6です。y=(1/2)(x²−6x)+1
- −6の半分−3の2乗9を、かっこの中で足して引きます。y=(1/2)(x²−6x+9−9)+1
- 最初の3項を(x−3)²にまとめます。y=(1/2){(x−3)²−9}+1
- −9をかっこの外に出します。(1/2)をかけて−9/2です。y=(1/2)(x−3)²−9/2+1
- 数の項をまとめて、y=1/2(x−3)²−7/2
頂点は（3，−7/2）です。計算機には、分数（x^2/2）も小数（0.5x^2）も、そのまま入れられます。
xの項や数の項がないとき
- xの項がない（b=0）：y=3x²−5は、すでに平方完成の形です。かっこの中がxのまま（p=0）と考えて、頂点は（0，−5）、軸はy軸（x=0）です。
- 数の項がない（c=0）：y=−2x²+8xは、−2でくくって、y=−2(x²−4x)。かっこの中で4を足して引き、y=−2{(x−2)²−4}となります。−4をかっこの外に出すと−4×(−2)=+8で、答えはy=−2(x−2)²+8です。数の項をまとめる段はありません。頂点は（2，8）で、最大値は8です。
頂点・軸・最大値最小値の読みとり方
| 見るところ | 読みとること |
|---|---|
| かっこの中（x−p） | pが頂点のx座標。(x+3)²ならp=−3 |
| かっこの外の数q | 頂点のy座標。最大値か最小値になる |
| x²の係数a | a>0なら下に凸（最小値だけがある）、a<0なら上に凸（最大値だけがある） |
| y軸との交点 | x=0を代入して、（0，c）。cはもとの式の数の項 |
| x軸との共有点 | 判別式D=b²−4acで決まる。D>0なら2個、D=0なら1個（接する）、D<0ならなし |
a>0のときは最大値がなく、a<0のときは最小値がありません。判別式Dは、y=ax²+bx+c（a≠0）のグラフについての値です。
たとえばy=x²+6x+5は、D=36−20=16>0なので、x軸と2か所で交わります（x=−1、−5）。y=x²−4x+7は、D=16−28=−12<0で、x軸と交わりません。頂点（2，3）がx軸より上にあり、下に凸だからです。
平方完成が使われる場面
- 二次関数のグラフ：頂点と軸が読みとれるので、グラフがかけます。最大値・最小値を求める問題でも使います。
- 二次方程式を解く：x²+6x+5=0は、平方完成して(x+3)²=4とし、x+3=±2から、x=−1、−5と求められます。この変形を文字のまま行って導いたのが、解の公式です。
- 式の変形：二次式をa(x−p)²+qの形にそろえると、頂点や最大値・最小値が式から直接読みとれます。
平方完成は式を変形するだけで、解は出ません。式に「＝0」をつけた方程式を、平方完成を使って解くことはできます。方程式の解を、途中式つきで求めたいときは、二次方程式の計算機の「平方完成」を選びます。二次方程式計算機は、ax²+bx+c=0の形の方程式を、因数分解・解の公式・平方完成のどれでも解けます。
よくある間違い
- (x+3)²のpを3にしてしまう：かっこの中がx+3なら、pは−3です。頂点は（−3，−4）で、（3，−4）ではありません。
- かっこの外に出すときにaをかけ忘れる：y=2x²−8x+3で、−4をそのまま外に出してy=2(x−2)²−4+3=2(x−2)²−1とするのは間違いです。−4に2をかけて−8にして、y=2(x−2)²−5です。
- 足すだけで、引くのを忘れる：x²+6x+9+5は、もとのx²+6x+5とちがう式です。足した9は、必ず引きます。
- xの係数そのものを2乗する：足す数は、xの係数の半分の2乗です。x²+6x+36では、(x+3)²になりません。
平方完成計算機のよくある質問
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