最大公約数・最小公倍数計算機｜すだれ算・素因数分解の途中式つきで求める無料の計算サイト
2〜5個の整数を入れるだけで、最大公約数と最小公倍数が出る無料の計算サイトです。答えだけでなく、すだれ算・素因数分解・書き出しの3つのやり方の途中式を見くらべられます。学校や塾で習ったやり方に合わせて確かめられるので、宿題の答え合わせや、考え方の確認に使ってください。
目次
最大公約数・最小公倍数計算機の使い方
- 数を入れる：2つの欄に整数を入れます（例：12と18）。「＋数をふやす」で5つまで、「－数をへらす」で2つまで欄を変えられます。「消す」ですべての欄が空になります。全角の数字、3けたごとのカンマ（1,000）、先頭の0も読みとります。
- 「最大公約数・最小公倍数を求める」を押す（Enterキーでも実行できます）：答えの欄に、最大公約数と最小公倍数が出ます。数の組によっては、「互いに素です」「小さい数が約数になっています」のような注記も出ます（3つ以上のときは、どの2つも互いに素なのか、全体だけなのかを書き分けます）。
- とき方を見る：「すだれ算」「素因数分解」「書き出し」の3つのボタンから、習ったやり方を選びます。選ぶと、とき方の欄がそのやり方の途中式にかわります。どのやり方でも、最後に「たしかめ」のわり算が出ます。
- すだれ算の色を見る：すべての数がわれた行は左の素数が青、一部の数だけがわれた行は橙で表示します。青の行の左の数だけをかけると最大公約数（青の行がないときは1）、青も橙も、いちばん下の数もかけると最小公倍数です。わりきれずに下におろした数は、うすい色で表示します。
- 例題を使う：「基本（12と18）」「3つの数」「互いに素」「一方が他方の倍数」「2つずつは共通の約数がある3つ」「大きめの数」「5つの数」のボタンを押すと、数が自動で入って答えが出ます。
- ヒントモード：「とき方」の右上のスイッチをオンにすると、最初の段だけが開き、続きは見出しをタップ（パソコンならクリック）した段だけ開きます。答えは表示されたままなので、自分で解くときは答えの欄を手でかくして使います。
- リンクをコピー：入れた数と、選んでいるやり方がそのまま開くリンクをコピーできます。リンクを開くと答えもすぐ表示されるので、問題だけを見せたいときは使わないでください。
- 使い分けカード：答えの欄よりさらに下に、文章題で最大公約数と最小公倍数のどちらを使うかの目安を表示します。
入れられるのは、1以上の整数（12けたまで）です。1も入れられます。0、マイナスの数、小数、分数、13けた以上、6つ以上の数は、答えを出さずに理由を表示します。空の欄は数えず、数が1つだけのときは「2つ以上の数を入れてください」と表示します。「書き出し」は、すべての数が9999以下で、いちばん小さい数の倍数を40個まで書けば最小公倍数が見つかるときだけ使えます。それをこえるときは、理由を表示するので、すだれ算か素因数分解を使ってください。答えをコピーするボタンや印刷機能はありません。
最大公約数・最小公倍数とは？約数と倍数のおさらい
約数は、その数をわりきれる数です。12の約数は、1、2、3、4、6、12の6つです。18の約数は、1、2、3、6、9、18です。12と18の両方の約数になっている数を公約数といい、1、2、3、6の4つです。公約数のうちいちばん大きい6が、最大公約数です。
倍数は、その数に整数をかけてできる数です。12の倍数は12、24、36、48、60…、18の倍数は18、36、54、72…と、かぎりなく続きます。12と18の両方の倍数になっている数を公倍数といい、36、72、108…と続きます。公倍数のうちいちばん小さい36が、最小公倍数です。
- 最大公約数：公約数のうち、いちばん大きい数。12と18なら6。
- 最小公倍数：公倍数のうち、いちばん小さい数。12と18なら36。
- 公約数は、最大公約数（6）の約数です（1、2、3、6）。公倍数は、最小公倍数（36）の倍数です（36、72、108…）。
約数・倍数と、最大公約数・最小公倍数は、小学5年生の算数で習います。すだれ算（連除法）は中学受験の塾でよく使われる解き方、素因数分解は中学1年生で習う内容です。学校や塾によって、使うやり方はちがいます。
3つのやり方で求める
同じ答えを、3つのやり方で求められます。計算機の「とき方」のボタンで切りかえて、見くらべてください。
| やり方 | むいている点 | 気をつける点 |
|---|---|---|
| すだれ算（連除法） | 2つ以上の数。1つの表から、最大公約数と最小公倍数の両方が出る | わりきれる素数を、自分で見つける必要がある |
| 素因数分解 | 素数ごとのかけた回数がわかる。中学の学習につながる | 数が大きいと、素数でわる回数がふえる |
| 書き出し | 意味がいちばんわかりやすい。小さい数の確認 | 数が大きいと、書き出しが長くなる |
すだれ算（連除法）で求める
すだれ算は、数を2つ以上ならべて、素数で次々にわっていく方法です。2つの数のときは、2つともわりきれる素数でわり、そのような素数がなくなったら終わりです。3つ以上の数のきまりは、このあとの項目で説明します。
12と18の最大公約数と最小公倍数
- 12と18を横にならべ、2つともわりきれる素数（2）を左に書いて、わります。12÷2＝6、18÷2＝9。
- 6と9を、2つともわりきれる素数（3）でわります。6÷3＝2、9÷3＝3。
- 2と3には、2つともわれる素数がないので、ここで終わりです。
| 2 | 12 | 18 |
| 3 | 6 | 9 |
| 2 | 3 |
最大公約数は、左の数をかけた2×3＝6です。最小公倍数は、左の数と、いちばん下の数をぜんぶかけた2×3×2×3＝36です。（左の数が2と3、いちばん下の数が2と3です）
3つ以上の数のすだれ算：1つの表から、最大公約数と最小公倍数を読みとる
3つ以上の数でも、表は1つです。わり方のきまりが少しちがいます。
- わり方：2つ以上の数をわりきれる素数で、わりきれる数はぜんぶわります。わりきれない数は、そのまま下におろします。下の数のどの2つにも共通の素数がなくなるまで続けます。
- 最小公倍数：左の数ぜんぶと、いちばん下の数ぜんぶをかけます。
- 最大公約数：その行の数が、下におろした数もふくめて、ぜんぶその素数でわりきれた行だけを選んで、左の数をかけます。そのような行がなければ1です。
12、18、30の最大公約数と最小公倍数
| 2 | 12 | 18 | 30 |
| 3 | 6 | 9 | 15 |
| 2 | 3 | 5 |
2行とも、3つの数すべてをわりきれています。最大公約数は2×3＝6、最小公倍数は2×3×2×3×5＝180です。
6、10、15の最大公約数と最小公倍数
| 2 | 6 | 10 | 15 |
| 3 | 3 | 5 | 15 |
| 5 | 1 | 5 | 5 |
| 1 | 1 | 1 |
1行目の2でわれるのは6と10だけで、15はそのまま下におろします。2行目の3でわれるのは3と15、3行目の5でわれるのは5と5だけです。3つの数すべてをわりきれる行は1つもないので、最大公約数は1です。いちばん下は1、1、1なので、最小公倍数は左の数をかけた2×3×5＝30です。6×10×15＝900と全部かけるより、ずっと小さい数になります。
計算機のすだれ算では、すべての数がわれた行を青、一部の数だけがわれた行を橙で見分けられます。この例は、3行とも橙になります。
素因数分解で求める
素因数分解は、数を素数（1とその数自身でしかわれない数。1は素数に入れません）のかけ算に直すことです。それぞれの数を素因数分解して、同じ素数どうしを見くらべます。2²は、2を2回かけること（2×2）で、右上の小さい数を指数といいます。
60と84の最大公約数と最小公倍数
- 60＝2×2×3×5＝2²×3×5、84＝2×2×3×7＝2²×3×7と素因数分解します。
- 素数ごとに、かけた回数（指数）をくらべます。2は両方とも2回、3は両方とも1回、5は60だけに1回、7は84だけに1回です（かけていないときは0回と考えます）。
- 最大公約数は、指数の小さいほうをかけます。2²×3＝12。5と7は片方が0回なので入りません。
- 最小公倍数は、指数の大きいほうをかけます。2²×3×5×7＝420。
計算機の「素因数分解」では、素数ごとの指数を表にして、小さいほう（最大公約数）と大きいほう（最小公倍数）の行を見せます。素因数分解そのもののやり方は、素因数分解の計算機でも確かめられます。
書き出しで求める
約数や倍数を、小さい順に書き出して見つけるやり方です。数が小さいときは、意味がいちばんよくわかります。
12と18の最大公約数と最小公倍数
- 12の約数：1、2、3、4、6、12
- 18の約数：1、2、3、6、9、18
- どちらにも出てくる数（公約数）は1、2、3、6。いちばん大きい6が最大公約数です。
- 12の倍数：12、24、36、48…
- 18の倍数：18、36、54、72…
- どちらにも、はじめて出てくる数は36。これが最小公倍数です。
書き出しは、数が大きくなると長くなります。大きい数は、すだれ算か素因数分解で求めましょう。手計算では素数が見つけにくいほど大きい数は、計算機で確かめてください。
2つの数の最大公約数×最小公倍数は、2つの数のかけ算と同じ
2つの数のときは、次の関係が成り立ちます。
- 2つの数のかけ算＝最大公約数×最小公倍数。12×18＝216、6×36＝216で同じです。
- かけ算を最大公約数でわると最小公倍数になります。12×18÷6＝36。
- 最大公約数が1の2つの数（互いに素）なら、最小公倍数は2つの数のかけ算になります。7と15は、最大公約数が1で、最小公倍数は7×15＝105です。
この関係は、2つの数のときの決まりです。3つ以上では、いつも成り立つとは限りません。12、18、30の3つでは、12×18×30＝6480ですが、最大公約数×最小公倍数は6×180＝1080で、同じになりません。
1と別の整数のときは、最大公約数は1、最小公倍数は別の整数自身です（1と5なら、最大公約数1、最小公倍数5）。小さい数が大きい数の約数のときは、最大公約数は小さい数、最小公倍数は大きい数です（6と24なら、最大公約数6、最小公倍数24）。
文章題では、どちらを使う？
文章題で迷うのは、最大公約数と最小公倍数のどちらを使うかです。目安は、「分ける」なら最大公約数、「そろう」なら最小公倍数です。
同じ大きさに分ける・切り分けるなら、最大公約数
たて12cm、よこ18cmの長方形の紙を、同じ大きさの正方形に、あまりなく切り分けます。いちばん大きい正方形の1辺は何cmですか
正方形の1辺は、12と18の両方をわりきれる長さ（公約数）です。いちばん大きいものを求めるので、最大公約数の6cmです。このとき、正方形は、たてに12÷6＝2まい、よこに18÷6＝3まいで、全部で6まいです。（6cm、6まい、6人と、同じ数がならびますが、どれも別の意味の数です）
あめ12こ、チョコ18こを、何人かに同じ数ずつ、あまりなく分けます。いちばん多い人数は何人ですか
人数は、12と18の両方をわりきれる数（公約数）です。いちばん多い人数なので最大公約数の6人です。1人分は、あめ2こ、チョコ3こです。
同時にそろう・はじめて重なるなら、最小公倍数
バスは12分おき、電車は18分おきに駅を出ます。いま同時に出ました。次に同時に出るのは何分後ですか
バスの出る時こくは12の倍数、電車は18の倍数です。両方に共通で、いちばん早い時こくなので、最小公倍数の36分後です。
12日おき、18日おき、30日おきに来る3人が、今日そろいました。次にそろうのは何日後ですか
3つの数の最小公倍数を求めます。12、18、30の最小公倍数は180なので、180日後です。
「あまりなく」「同じ大きさ」「いちばん大きい」は最大公約数、「次に同時」「はじめてそろう」「いちばん小さい」は最小公倍数、と読みかえると決めやすくなります。計算機の下にも、この目安を表示しています。ただし、あくまで目安です。
たとえば、たて12cm、よこ18cmの長方形のタイルを同じ向きにならべて、正方形をつくる問題は、いちばん小さい正方形の1辺が最小公倍数の36cmです。紙を切り分けるのではなく、ならべて大きくするので、倍数の考え方になります。あまりが出る問題なども、この目安だけでは決まらないので、問題文を読んで、「分けるのか」「そろうのか」を考えてください。
よくある間違い
4、6、8のすだれ算は次のようになります。下の間違いの説明で使います。
| 2 | 4 | 6 | 8 |
| 2 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 3 | 2 |
- 最大公約数と最小公倍数を取りちがえる：約数（わる数）の仲間が最大公約数、倍数（かける数）の仲間が最小公倍数です。12と18なら、6が最大公約数、36が最小公倍数です。
- すだれ算で、わるのに使えない素数でわる：2つの数のときは、2つともわりきれる素数でだけわります。片方しかわれない素数まで、最大公約数にかける左の数に入れると、最大公約数が大きくなりすぎます。3つ以上のときは、わるのは2つ以上の数をわりきれる素数で、最大公約数に使うのは、全部がわれた行だけです。
- 最小公倍数で、いちばん下の数をかけ忘れる：左の数だけでなく、いちばん下に残った数もかけます。12と18なら、左の2×3だけだと6ですが、下の2と3もかけて36です。
- 3つ以上のすだれ算で、橙の行まで最大公約数に入れる：下の4、6、8の表で、1行目の2は3つともわれます（4、6、8→2、3、4）。2行目の2でわれるのは2と4だけで、3はそのまま下におろします。最大公約数は、3つともわれた1行目の2だけです。2×2＝4とすると、4は6をわりきれないので、公約数ではなく誤りです。最小公倍数は、左の2、2と、いちばん下の1、3、2をぜんぶかけた2×2×1×3×2＝24です。
- 0を入れる：小学校の算数では、0の約数・倍数は考えません。この計算機にも0は入れられません。（ExcelのGCD関数は0も入れられ、GCD(0,12)は12になりますが、これは小学校の算数とは別の約束です）
- 3つ以上で「かけ算＝最大公約数×最小公倍数」を使う：この関係は、2つの数のときの決まりです。